Duda con la solución de un problema de sucesiones recurrentes y acotación superior.
Tengo la solución de un ejercicio pero no entiendo muy bien lo que se ha hecho si alguien me pudiese explicar que pasos se han realizado se lo agradecería aquí dejo el problema en imagen, ignorar la frase"Las dos primeras se dejan como ejercicios propuestos", mi duda esta en el paso del interrogante, muchas gracias:
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Guillermo!
Lo que te han hecho está bien. Pero también estaría bien si te aprendes de memoria la fórmula para la suma de n términos de una progresión geométrica.
$$\begin{align}&\text{Siendo }a_1 \text{ el primer término y r la razón, tenemos}\\&\\&S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\\&\\&\text{Con lo cual tu progresión con }a_1=\frac 15 \text{ y razón }\frac 15\\&\\&S_n=\frac{\frac 15\left(1-\frac {1}{5^n}\right)}{1-\frac 15}=\frac{\frac 15\left(1-\frac {1}{5^n}\right)}{\frac 45}\end{align}$$:
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Respuesta de Math Educando
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$$\begin{align}&E=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}+\cdots +\dfrac{1}{5^n}\\ \\&E=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}+\cdots +\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)\\\\&E=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}\left(E-\dfrac{1}{5^n}\right)\\\\&E=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}E-\dfrac{1}{5^{n+1}}\\ \\&\dfrac{4}{5}E=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5^{n+1}}\\ \\&E=\dfrac{\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5^{n+1}}}{\dfrac{4}{5}}\end{align}$$De allí en adelante supongo que ya entiendes.
¡Gracias! Muchísimas gracias por la ayuda, es increíble el altruismo que puedes encontrar en páginas de internet!! Saludos.