¿Cómo hago estas demostraciones de divisibilidad?

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¡Hola Vero!

Si descomponemos a, b y c en factores primos tendremos:

F(a) = {factores primos de a}

F(b) = {factores primos de b}

F(c) = {factores primos de c}

F(bc) = {factores primos de bc}

1) Como a divide a bc, todos los factores primos de a están en bc con menor o igual exponente.

$$\begin{align}&F(a) \subseteq F(bc)\end{align}$$

2) bc tiene la unión de factores primos de b y de c, cuando un factor primo está en los dos se suman los exponentes

$$\begin{align}&F(bc) = F(b) \cup F(c)\end{align}$$

3) como a y b son primos entre si no tienen ningún factor primo común

$$\begin{align}&F(a)\cap F(b)=\emptyset\end{align}$$

4) Entonces para que se cumpla 1) todos los factores primos de a deben estar en c y con exponentes menores o iguales.

$$\begin{align}&F(a) \subseteq F(c)\end{align}$$

Luego a divide a c.

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Sea d un divisor común de (a) y (ab+1). Por dividir a a el cociente a/d es un número entero a/d = n

$$\begin{align}&\frac{ab+1}{d}= \frac{ab}{d}+\frac 1d=\frac ad·b+\frac 1d=n·b+\frac 1d\\&\\&\text{Eso debe ser un número entero porque a divide a ab+1}\\&\text {como nb es un número entero, }\frac 1d\text{ debe ser entero.}\\&\text{El único valor d que cumple eso es d=1}\end{align}$$

Luego el único divisor posible de (a) y (ab+1) es 1 y será su máximo común divisor.

Saludos.

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