Solucionar el siguiente ejercicio de calculo integral
Necesito solucionar el siguiente ejercicio que dice lo siguiente: Evalúa cada una de las siguientes integrales usando la sustitución trigonométrica. La ecuacion del problema viene en la imagen
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}& \end{align}$$·
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¡Hola Miguel Angel!
Espero que salga fácil, porque algunas trigonométricas son muy feas.
$$\begin{align}&\int \frac {x^2 dx}{\sqrt{16-x^2}}=\\&\\&\text{por la forma del radicando haremos}\\&\\&x=4\,sen\,t\implies t=arcsen \frac x4\\&dx=4 \cos t \;dt\\&\\&=\int \frac{16\, sen^2t·4\, \cos t}{\sqrt{16-16sen^2t}} dt=\\&\\&64\int \frac{sen^2t·\cos t}{4 \sqrt{1-sen^2t}}dt=\\&\\&16\int sen^2 tdt=\\&\\&16\int \frac{1-\cos 2t}{2}dt=\\&\\&8t-4 sen\,2t+C=\\&\\&sen 2t= 2 sent·cost= 2· \frac x4·\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}=\frac{x \sqrt{16-x^2}}{8}\\&\\&=8 arcsen \left(\frac x4\right)-\frac{x \sqrt{16-x^2}}2+C\\&\end{align}$$
