Procedimiento para resolver una integral
Realiza el procedimiento para resolver la siguiente integral descrita en la imagen siguiente
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Andrea!
Si lo ponemos en notación exponencial será más sencillo.
$$\begin{align}&\int \sqrt{5x-3}\;dx=\int(5x-3)^{1/2} dx=\\&\\&\text{Esta vez usaremos el cambio de variable}\\&\text{creo que lo habrás dado ya}\\&\\&t=5x-3\\&\\&dt= 5\;dx \implies dx=\frac 15 dt\\&\\&\\&=\int t^{\frac 12}·\frac 15 dt=\\&\\&\text{Hay que recordar que }\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\\&\\&=\frac 15·\frac{t^{3/2}}{\frac 32}+C = \frac 2{15}t^{3/2}+C =\\&\\&\frac 2{15}(5x-3)^{\frac 32}+C= \frac 2{15} \sqrt{(5x-3)^3}\end{align}$$:
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una pregunta, ¿También se puede resolver sin cambiar la variable?
Si, pero o lo haces deduciendo cual debe ser la función que al derivarla de la que tenemos o tendrás que aprender nuevas integrales inmediatas.
Sabemos que
$$\begin{align}&([f(x)]^n)'= n·[f(x)]^{n-1}·f'(x)\\&\\&\text{Cuando }f'(x) \text{ es una constante es fácil}\\&\text{realizar los ajustes para encontrar la integral}\\&\text{En concreto puedes deducir esta fórmula}\\&\\&\int (ax+b)^ndx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a·(n+1)}\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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una pregunta, ¿También se puede resolver sin cambiar la variable?
Si, ya te dije arriba como, en concreto si aplicamos la fórmula que decía tenemos:
$$\begin{align}&\int (ax+b)^ndx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a·(n+1)}\\&\\&\\&\int \sqrt{5x-3}dx=\\&\\&\int(5x-3)^{\frac 12dx}=\frac{(5x+3)^{\frac 32}}{5·\frac 32}+C=\\&\\&\frac{\sqrt{(5x+3)^3}}{\frac {15}2}+C= \\&\\&\frac{2 \sqrt{(5x+3)^3}}{15}+C \end{align}$$Saludos.
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