Como resolver las ecuaciones canónicas
Necesito de la ayuda de todos ustedes como siempre lo han hecho, necesito que me colaboren con la solución de las siguientes ecuaciones canónicas:
1. De la siguiente ecuación canónica de la elipse, transformar la ecuación :
sqrt(x-c)^2 + y^2 + sqrt(x+c)^2 + y ^2 = 2a
En la ecuación: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.
Ojala me haya hecho entender.
Deberías puntuarlas con excelente, están muy bien respondidas.
Hola Angel, si que pena a mi se me olvida dejar la valoración, pero ya se para la próxima, muchas gracias por sus respuestas, ya las valore todas, si me queda una pendiente me avisas. Gracias
Vamos a ver si se puede hacer esa transformación.
¿Pero seguro que esa la ecuación? Fíjate que
sqrt(x-c)^2 + y^2 + sqrt(x+c)^2 + y ^2 = 2a
sería
x-c + y^2 + x+c + y^2 = 2a
2y^2 + 2x = 2a
Y eso no es una elipse.
Buen Día:
Mejor te envío la imagen.
Lo que yo digo que sqrt es la raíz cuadrada, pero mejor te mando la foto para que se vea mejor.
Pero Camilo, ¿Cómo voy a saber yo donde termina la raíz cuadrada?
Si no escribes entre paréntesis el contenido de la raíz, la norma es tomar solo aquello que va inmediatamente detrás, nada mas que aparezca un signo de suma se acabó la raíz.
Lo que deberías haber escrito es:
sqrt[(x-c)^2 + y^2] + sqrt[(x+c)^2 + y ^2] = 2a
Recuerda, la raíz cuadrada no es
Sqrt
La raíz cuadrada es
Sqrt()
Y dentro de los paréntesis (o corchetes) va el radicando, hay que ponerlos tanto sea un solo número como si es una expresión larga.
$$\begin{align}&\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\\&\\&\text{elevamos al cuadrado en los dos lados}\\&\\&(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2+2 \sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2\\&\\&x^2-2cx+c^2+y^2+x^2+2cx+c^2+y^2+2 \sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2\\&\\&2x^2+2y^2+2c^2 +2 \sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2\\&\\&2 \sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2 -2x^2-2y^2-2c^2\\&\\&\sqrt{(x-c)^2+y^2}\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a^2 -x^2-y^2-c^2\\&\\&\text{Elevamos de nuevo al cuadrado}\\&\\&\left((x-c)^2+y^2 \right)\left((x+c)^2+y^2 \right)=\left(2a^2 -x^2-y^2-c^2 \right)^2\\&\\&(x-c)^2(x+c)^2+y^2\left((x+c)^2+(x-c)^2 \right)+y^4=\left(2a^2 -x^2-y^2-c^2 \right)^2\\&\\&\left((x-c)(x+c) \right)^2+y^2(2x^2+2c^2)+y^4=\left(2a^2 -x^2-y^2-c^2 \right)^2\\&\\&\left(x^2-c^2 \right)^2+y^2(2x^2+2c^2)+y^4=\left(2a^2 -x^2-y^2-c^2 \right)^2\\&\\&\text{No va a quedar más remedio que hacer ese cuadrado}\\&\text{todos los cuadrados más dos veces todos los productos}\\&\\&x^4-2c^2x^2+c^4+2x^2y^2+2c^2y^2+y^4=\\&4a^4+x^4+y^4+c^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+2x^2y^2+2c^2x^2+2c^2y^2\\&\\&\text{primero quitamos los mismos de los dos lados}\\&\\&-2c^2x^2=4a^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+2c^2x^2\\&\\&4a^4-4a^2x^2-4a^2y^2-4a^2c^2+4c^2x^2=0\\&\\&a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^2c^2+c^2x^2=0\\&\\&\text{en la elipse se tiene}\\&\\&c^2=a^2+b^2\\&\\&a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^2(a^2+b^2)+(a^2+b^2)x^2=0\\&\\&a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^4-a^2b^2+a^2x^2+b^2x^2=0\\&\\&-a^2y^2-a^2b^2+b^2x^2=0\\&\\&b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\\&\\&\frac {x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{align}$$Pues sintiéndolo mucho, no me da una elipse sino una hipérbola, hay un signo - entre los dos términos. Y estoy bastante seguro que lo hice bien, no obstante ya lo repasaré después de mandarlo porque en modo edición no se puede ver bien.
Saludos.
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Confirmado, la respuesta que he dado está bien, luego no es una elipse sino una hipérbola. El razonamiento está bien porque en la hipérbola también se cumple c^2=a^2+b^2
Saludos.
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No sé si ese enunciado salía en un libro o lo ha hecho el profesor, de todas formas es falso, adviérteselo al profesor. No es la vez un millón que los libros tienen erratas o fallos.
Perdona, perdona, perdona. Que el equivocado soy yo. Ahora te mando la corrección.
Había revisado todas las cuentas porque eso era lo complicado. Pero no me había dado cuenta de que en la elipse la realción es
a^2 = b^2 + c^2
luego
c^2 = a^2 - b^2
Y no lo que sustituí yo.
Lo pensé cuando me fui de paseo, que muchas veces ma da por ir pensando en problemas matemáticos. Entonces pensé en tu ejercicio y dije ¿que son esas raíces cuadradas. Lógico, son las distancias de un punto de la elipse a los focos. Y la elipse tiene que la suma de esas dos distancias es 2a, entonces en ejercicio está bien, el que se equivoca soy yo fue cuando me di cuenta que había hecho mal el cambio de c^2. Todo es igual salvo la última parte:
$$\begin{align}&a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^2c^2+c^2x^2=0\\&\\&\text{en la elipse se tiene}\\&\\&c^2=a^2-b^2\\&\\&a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^2(a^2-b^2)+(a^2-b^2)x^2=0\\&\\&a^4-a^2x^2-a^2y^2-a^4+a^2b^2+a^2x^2-b^2x^2=0\\&\\&-a^2y^2+a^2b^2-b^2x^2=0\\&\\&b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\\&\\&\frac {x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{align}$$Y ahora si que da lo que pedían.
Y eso es todo, saludos.
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