¿Duda acerca de la suma de lo primeros números en una progresión aritmética?

Veamos primero un poco de teoría:

$$\begin{align}&\text{Sabemos que:}\\&a_n = a_1 + (n-1)d\\&\text{o también que}\\&a_n=a_m+(n-m)d\\&Además\\&\sum_{i=1}^n a_i=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\\&...\\&a_7=a_4+(7-4)d\\&16=7+3d \Rightarrow d = 3\\&a_7=a_1+(7-1)d\\&16=a_1+6\cdot3 \Rightarrow a_1=-2\\&a_{16}=a_1+(16-1)d\\&a_{16}=-2+15\cdot 3 = 43\\&Luego...\\&\sum_{i=1}^{16} a_i=\frac{16(-2+43)}{2}=328\end{align}$$

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¡Hola Ximena!

El término general de un sucesión aritmética es:

$$\begin{align}&a_n=a_1+(n-1)d\\&\\&tenemos\\&\\&a_4=7\implies a_1+3d=7\\&a_7=16\implies a_1+6d=16\\&\\&\text{despejando }a_1 \text{ en ambas e igualando tenemos}\\&\\&7-3d = 16-6d\\&3d=9\\&d=3\\&a_1+3·3=7\\&a_1=7-9=-2\\&\\&\text{Luego ya tenemos el término general}\\&\\&a_n=-2+3(n-1)\\&\\&\text{Y ahora hay que usar la fórmula de la suma}\\&\text{de los n primeros términos}\\&\\&S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\\&\\&como\; n=16\\&\\&S_{16}=\frac{16(-2+a_{16})}{2}=\\&\\&a_{16} \text { lo calculamos con el término general}\\&\\&\frac{16(-2+-2+15·3)}{2}=\frac{16·(-4+45)}{2}=\\&\\&8·41=328\end{align}$$

Y eso es todo, espero que et sirva y lo hayas entendido.

Saludos.

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