Suma de suma de Reimann para encontrar el área limitada por la curva en el intervalo dado

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¡Hola Andrea!

Dividiremos el dominio de integración en n intervalos iguales y calcularemos el límite cuando n tiende a infinito la suma de productos del valor de la función en un punto del intervalo por la longitud del intervalo

$$\begin{align}&S=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)·\frac{b-a}n=\\&\\&(b-a)·\lim_{n\to \infty}\frac 1n\sum_{i=1}^nf(x_i)\\&\\&\text{donde }x_i=a+\frac{i(b-a)}{n}\\&\\&\text{Entonces la suma de Riemann es}\\&\\&S=(2-0)·\lim_{n\to \infty} \frac 1n\sum_{i=1}^n\left(2\left(0+\frac{2i}{n}\right)^2-4\left(0+\frac{2i}{n}\right)+3\right)=\\&\\&2·\lim_{n\to \infty} \frac 1n\sum_{i=1}^n\left(\frac{8i^2}{n^2}-\frac {8i}n+3    \right)=\\&\\&2·\lim_{n\to \infty} \left(\left(\frac 8{n^3}\sum_{i=1}^ni^2\right)-\left(\frac 8{n^2}\sum_{i=1}^ni\right)+3\right)=\\&\\&\text{Y hay que usar algunas fórmulas de sumatorios}\\&\\&\sum_{i=1}^ni= \frac{n(1+n)}{2}=\frac{n^2+n}{2}\\&\\&\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}= \frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\&\\&=2·\lim_{n\to \infty} \left(\left(\frac 8{n^3}·\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\right)-\left(\frac 8{n^2}·\frac{n^2+n}{2}\right)+3\right)=\\&\\&2··\lim_{n\to \infty} \left(\frac 83+\frac 4n+\frac{4}{3n^2}-4-\frac 4n+3  \right)=\\&\\&2·\left(\frac 83-4+3  \right)=2·\frac 53=\frac {10}3\end{align}$$

Y he comprobado que la integral es esa, luego está bien.