Como hacer estos ejercicios de subespacios vectoriales?

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¡Hola Ezio!

El espacio generado por el vector nulo es el propio vector nulo que es un espacio de dimensión 0 y es un punto.

El espacio generado por un vector no nulo es de dimensión 1, se corresponde con determinada recta que pasa por el punto (0,0)

El espacio generado por dos vectores depende de si son dependientes o no lo son. Si son los dos nulos es un un punto, si son dependientes (proporcionales) y uno de ellos no nulo es una recta y si son independientes es todo R^2

Entonces

S1 = <(0,0)> es el punto (0,0)

S2 = <(1,1)>  es un recta, la recta y=x

S3 = <(1,1);(2,2)> son proporcionales luego es una recta, la misma de antes

S4 = <(1,0);(0,2)> son independientes luego es R^2

S5 = <(1,1);(-1,-1)> son proporcionales, el segundo se obtiene multiplicando el primero por (-1), luego es una recta y es la misma de las dos veces anteriores y=x

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En R3 es parecido pero un poquito más complicado. Aquí ya no vamos a mencionar caso por caso. Lo que tienes que hacer es el rango de los vectores y ese rango es la dimensión. Si la dimensión es 0 será un punto, si es 1 una recta, si es 2 un plano y si es 3 es todo R3

S1 = <(0,0,0)> rango 0, es el punto (0,0,0)

S2 = <(1,1,1)> rango 1, es una recta

x=y

x=z

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S3 = (<1,1,1>, <2,2,2>) El rango es 1 son proporcionales luego es la misma recta de antes

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S4 = (<1,0,1>, <0,2,0>)  Son dos vectores independientes, el rango es 2 y es un plano  x-2y+z=0

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S5 = <(1,0,1), (0,2,0), (3,5,3)>

Se ve claramente que el rango es 2 ya que el tercer vector es combinación lineal de los dos primeros

3(1,0,1) + (5/2)(0,2,0) = (3,0,3) + (0,5,0) = (3,5,3)

Luego es un plano y es el mismo de antes x-2y+z=0

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S6 = <(1,0,1), (0,2,0), (a,b,a)>

Se ve que el rango es dos por una argumentación calcada de la anterior. Si no lo ves claro te montas los tres vectores en fila y haces las operaciones de sumar unas a otras multiplicadas por algo hasta obtener tres ceros en la de abajo

a(1,0,1) + (b/2)(0,2,0) = (a,0,a) + (0,b,0) = (a,b,a)

Luego es un plano y es el mismo de antes x-2y+z=0

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S7 = <(1,0,1), (0,2,0), (3,0,1)>

Es de suponer que este será el de rango 3, al menos rango 2 sabemos que tiene ya que los dos primeros vectores son los de siempre y sn independientes. Los montamos en fila y podemos o hacer operaciones de fila o calcular el determinante. Perdona pero aqué es mucho más sencillo escribir el desarrollo de esto segundo

|1  0  1|

|0  2  0|= 2 - 6 = -4

|3, 0, 1|

Es distinto de 0 luego el rango es 3 y el espacio generado es R^3.

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