Como demostrar con los axiomas de los nueros reales?

Demuestre por inducción matemática que dados x, y que pertenecen a los reales, tales que 0<x<y demostrar que x^n < y^n para cualesquiera (n) en los reales.

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¡Hola Omar!

Para demostrar por inducción primero debemos comprobar que se cumple para n=1

0 < x^1 < y^1

0 < x < y

Que es verdadero por hipótesis

Y después debemos demostrar que si se cumple para n se cumple para n+1

Para ello usaremos el axioma O1.4 que tienes aquí

https://es.wikipedia.org/wiki/Axiom%C3%A1tica_de_los_n%C3%BAmeros_reales#Axiomas_de_orden 

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Entonces, suponiendo

0 < x^n < y^n

multiplicando por x, que es mayor que 0, tenemos

0 < x^(n+1) < x·y^n

por otro lado aplicamos el mismo axioma a

x<y

multiplicamos por y^n

x·y^n < y^(n+1)

juntando las dos cadenas de desigualdades queda

0 < x^(n+1) < x·y^n < y^(n+1)

0 < x^(n+1) < y^(n+1)

Luego se cumple la propiedad para n+1. Y con ello queda demostrada la inducción.

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