Solucionar esta integral definida paso a paso calculo integral mencionar la técnica para resolver

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¡Hola Oscar!

Cuando una función tiene exponente par y la otra impar, ese impar que sobra será el diferencial, luego el cambio será el de la función de exponente par. Hay que dejar todo en función de ella salvo un exponente de la función impar que servirá para el diferencial.

$$\begin{align}&\int_0^{\pi/4}sen^3(2x)\,\cos^4 (2x)\;dx=\\&\\&\int_0^{\pi/4} (1-\cos^2(2x))·\cos^4(2x)·sen(2x)\;dx=\\&\\&\int_0^{\pi/4}\left(\cos^4(2x)-\cos^6(2x)\right)sen(2x)dx\\&\\&t=\cos 2x\\&dt=-2sen(2x)\; dx  \implies sen(2x) dx= -\frac 12 dt\\&x=0\implies t=1\\&x=\frac \pi 4\implies t=0\\&\\&=-\frac 12\int_1^0 (t^4-t^6)dt =-\frac 12\left[\frac{t^5}{5}-\frac{t^7}{7}  \right]_1^0=\\&\\&-\frac 12\left(-\frac 15+\frac 17  \right)=-\frac 12·\left(-\frac{2}{35}=\right)=\frac 1{35}\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo.