Resolver el siguiente ejercicio sobre esperanza matemática
Sea X una variable aleatoria con función de distribución dada por:
$$\begin{cases}
0 & \mbox{si } x \in (-\infty,0) \\
1/4 & \mbox{si } x \in [0,4) \\
(3/40)*(x+1) & \mbox{si } x\in[4,9) \\
1 & \mbox{si } x\in[9,\infty)
\end{cases}$$Hallar la esperanza de Y = raíz(X)
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Atom!
La función de distribución de Y será
$$\begin{align}&\\& 0 \quad \qquad{si }\; y \in (-\infty,0) \\&\\& 1/4 \qquad {si }\; y \in [0,2) \\&\\& (3/40)*(y^2+1) \quad {si }\; y\in[2,3) \\&\\& 1 \qquad\quad {si }\; y\in[3,\infty)\\&\end{align}$$Vaya función más rara. Tenemos
$$\begin{align}&P(Y\lt0)=0\\&P(Y=0) = \frac 14\\&P(0\lt Y\lt 2)=0\\&P(Y=2)=\frac{3}{40}·(2^2+1)-\frac 14=\frac 18\\&P(Y=3)=1-\frac 3{40}(3^2+1)=\frac 14\\&\\&\text{Y para los puntos entre 2 y 3 la función de densidad es}\\&\\&f(y)=\frac {6x}{40}=\frac {3y}{20}\\&\\&E(Y) = 0·\frac 14+2·\frac 18+3·\frac 14+\int_2^3 y·\frac {3y}{20}dy=\\&\\&0+\frac 14+\frac 34+\left[\frac {y^3}{20}\right]_2^3=\\&\\&1+\frac {27}{20}-\frac{8}{20}=1+\frac{19}{20}=\frac {39}{20}\\&\\&\end{align}$$
Se me olvido poner que para Y>3 la probabilidad es 0. Eso no influye en el resultado.
