Anónimo
Como realizo este ejercicio con integrales
Nunca he sido bueno para acomodar mis ideas en ejercicios de aplicación agradecería que alguien me ayudara con esta integral
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Anónimo!
La fórmula para el centro de masas de una varilla es
$$\begin{align}&x_c=\frac{\int_a^b x\;dm}{\int_a^b dm}\\&\\&\text{Si el diferencial de masa depende la la densidad }\gamma(x)\\&\\&x_c=\frac{\int_a^bx\,\gamma(x)\;dx}{\int_a^b \gamma(x) dx}\\&\\&\text{Las integrales no son sencillas, las resolveré con}\\&\text{funciones hipérbolicas porque con trigonométricas}\\&\text{nos podemos morir.}\\&\\&sh \,x = \text{seno hiperbólico de x}\\&ch \,x = \text{coseno hiperbólico de x}\\&\\&\int x \sqrt{9+x^2}\;dx=\\&\\&x=3\,sh\,t\\&dx= 3\,ch\,t\;dt\\&\\&=\int 3\,sh\,t \sqrt{9+9sh^2t}·3ch\,t \;dt=\\&\\&27\int sh\,t·ch^2\,t\;dt=\\&\\&u=ch\;t\\&du=sh\,t \;dt\\&\\&27\int u^2 du=9u^3=9ch^3t=9 (1+sh^2t)\sqrt{1+sh^2t}=\\&\\&9 \left(1+\frac {x^2}{9}\right)\sqrt{1+\frac {x^2} 9}=\frac{(9+x^2) \sqrt{9+x^2}}3\\&\\&\text{evaluada entre 0 y 4 es}\\&\\&\int_0^4 x \sqrt{9+x^2}\;dx=\frac{125}{3}-9=\frac{98}{3}\\&\\&\\&\text{vamos con el denominador}\\&\\&\int \sqrt{9+x^2}\;dx=\\&\\&x=3\,sh\,t\\&dx= 3\,ch\,t\;dt\\&\\&=\int \sqrt{9+9sh^2t}·3ch\,t \;dt=\\&\\&9\int ch^2\,t\;dt= \frac 92\int (1+ch\, 2t) dt=\\&\\&\frac{9}{2}t+\frac 94sh \,2t=\frac{9}{2}t+\frac 92sh\,t·ch\,t=\\&\\&\frac 92 argsh\,\frac x3+\frac 92·\frac x3·\sqrt{1+\frac{x^2}{9}}=\\&\\&\frac 92 argsh\,\frac x3+\frac x2 \sqrt{9+x^2}\\&\\&\text{que evaluado entre 0 y 4 nos dará}\\&\\&\int_0^4 \sqrt{9+x^2}\;dx= \frac 92 argsh\,\frac 43+10-\frac 92 argsh\,0-0=\\&\\&\frac{9}{2}arg sh \frac 43+10\\&\\&x_c=\frac{\frac{98}{3}}{\frac{9}{2}arg sh \frac 43+10}=\frac{96}{27\,arg sh \frac 43+30}\approx\\&\\&\frac{96}{5966253179}\approx 1.609050054\\&\end{align}$$Esa será la distancia desde el extremo izquierdo.
¡Gracias!
Compartí esta respuesta en Facebook por su interés y con motivo de hacerse un año la he vuelto a poner y me he dado cuenta que una de las dos integrales era casi inmediata no necesitaba sustitución hiperbólica.
$$\begin{align}&\int x \sqrt{9+x^2}dx=\\&\\&t=9+x^2\\&\\&dt= 2xdx\implies xdx=\frac 12dt\\&\\&=\frac 12\int t^{\frac 12}\;dt= \frac 12 \frac{t^{\frac 32}}{\frac 32}+C=\frac 13t^{\frac 32}+C=\\&\\&\frac 13 \sqrt{(9+x^2)^3}+C\end{align}$$Que es lo mismo que salía pero hecho de forma más sencilla.
Sa lu dos.
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