Análisis de un Subespacio Vectorial.
Espero puedan ayudarme :)
Sean:
$$\begin{align}&H= [p(x) en V / a_o + a_1 + a_2 = 0]\end{align}$$$$\begin{align}&V= [ p(x)= a_0 + a_1x + a_2x^2 / a_i en R, i=0,1,2 ] \end{align}$$Con las operaciones ordinarias de suma y multiplicación por escalares para polinomios.
a) Pruebe que H es un subespacio de V.
b) Halle una base para H.
1 respuesta
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¡Hola Monse483!
Para demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial, hay que demostrar que toda combinación lineal de los elementos del conjunto pertenece al subconjunto. O también se puede hacer en dos partes, demostrar que la suma pertenece al subconjunto demostrar que el producto por un escalar pertenece al subconjunto.
Sean
$$\begin{align}&p(x) = a_0 + a_1x +a_2x^2\\&q(x) = b_0 + b_1x+b_2x^2\\&\\&\text{polinomios de H luego}\\&a_0+a_1+a_2=0\\&b_0+b_1+b_2= 0\\&\\&\text{Una combinación lineal será}\\&\\&r(x)=\alpha ·p(x)+ \beta·q(x)=\\&\\&\alpha(a_0 + a_1x +a_2x^2)+\beta(b_0 + b_1x+b_2x^2)=\\&\\&\alpha\, a_0+\beta\, b_0+ (\alpha\, a_1+\beta\, b_1)x+(\alpha\, a_2+\beta\, b_2)x^2\\&\\&\text{Y la suma de sus coeficientes será}\\&\\&\alpha\, a_0+\beta\, b_0+\alpha\, a_1+\beta\, b_1+\alpha\, a_2+\beta\, b_2=\\&\\&\alpha(a_0+a_1+a_2)+\beta(b_0+b_1+b_2) =\\&\\&\alpha·0 + \beta·0 = 0+0 = 0\\&\\&\text{Luego }r(x)\in H\\&\\&\text{Luego H es subespacio vectorial de V}\\&\end{align}$$Este subespacio no puede tener dimensión tres porque no es V completo, ya que el vector 1+x por ejemplo no pertenece a H.
En realida se puede formar dando a a_0 y a_1 los valores que queramos y luego dando a a_2 el valor
a_2 = -a_0 - a_1
Luego podemos tomar dos parámetros libremente y el espacio tiene dimensión dos, tomemos dos polinomios de H independientes por el método más sencillo (1,0,-1)(0,1,-1)
B=(1 - x^2, x-x^2)
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