Tenemos que G y H son grupos abelianos finitos. Si GxG≅HxH, ¿G es isomorfo a H?

Me da gusto estar en contacto, espero que me pueda ayudar con esta pregunta de álgebra moderna II, a la que tampoco le entiendo mucho.

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Existe un isomorfismo f de

f:  GxG --->  HxH

f(g1,g2) = (h1,h2)

Sea

p: HxH ----->H  la función proyección de la primera coordenada

p(h1,h2) = h1

tomemos la función

q:  G ----> H

q(g) = p[f(g,1)]

veamos que q es un isomorfismo, es decir, que

q(g1·g2) = q(g1)·q(g2)

q(g1·g2) = p[f(g1·g2,1)] = p[f(g1·g2, 1·1)] = p(f[(g1,1)·(g2,1)]) =

como f es homomorfismo

p[f(g1,1)·f(g2,1)]=p[f(g1,1)]·p[f(g2,1)]= q(g1)·q(g2)

Ahora veamos que es inyectiva.

Sea q(g1) = q(g2)

p[f(g1,1)] = p[f(g2,1)]

...

Y aquí es donde me quedo completamente atascado, yo de eso no puedo deducir que f(g1, 1)=f(g2, 1) ya que la segunda coordenada podría ser distinta. Intento demostrar que la segunda coordenada de f(g, 1)=1 pero no puedo.

El Álgebra es bastante complicada y no soy especialista en ella, seguramente este ejercicio viene después de una teoría, teoremas y ejercicios que facilitan resolverlo y sin los cuales yo no puedo hacerlo, ya que por no saber a lo mejor lo intentaría de una forma demasiado compleja para la solución que debe darse.

Saludos.

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