Inscribir en una elipsoide, una pirámide de base paralela uno de los planos coordenados, de tal modo que el volumen sea máximo.

Yo pienso que deberían decirnos cómo es la pirámide, ya que puede tener desde 4 hasta infinitas caras y puede ser regular o irregular, por ejemplo con base cuadrada o rectangular, es muy ambiguo el problema.

¿Seguro qué no dicen más? Y si no dicen más como piensas que debe ser si es que habéis hecho otros parecidos.

la pirámide es regular y base rectangular, y sobre otros ejercicios parecidos que he resuelto me refería a inscribir un paralelepípedo en lugar de una pirámide.

Antes de nada advertirte que la página funciona mal y se come cosas que mando, antes se ha comido elsaludo inicial y el final, espero que no se coma nada más que sea importante.

En este rato estaba pensando que lo más lógico sería una pirámide de base rectángular y me lo has confirmado.

El volumen de la pirámide será:

$$\begin{align}&V=\frac 13 A_b\,h\end{align}$$

un tercio del área de la base por la altura. Debemos máximizar esa función. Si queremos podemos quitar el 1/3 para que no moleste, la solución será la misma.

En cada corte que hagamos con el plano de la base tendremos una elipse en la cual debemos inscribir el rectángulo con mayor área.

Si por ejemplo la elipse dependiese de coordenadas (x, y)

$$\begin{align}&\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1\\&\\&\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2}\\&\\&y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\end{align}$$

dado el vertice (c,d) de un rectángulo inscrito, los otros vértices son simetricos respecto al eje X y el eje Y, serían (c,-d), (-c,d) y (-c,-d), luego el área sería

2c·2d = 4cd

luego para maximizar el área de la base hay que maximizar 4cd

$$\begin{align}&A_b(x)=4x·\frac ba \sqrt{a^2-x^2}=\frac {4b}a \sqrt{a^2x^2-x^4}\\&\\&A_b'(x)=\frac{4b}a ·\frac{2a^2x-4x^3}{2 \sqrt{a^2x^2-x^4}}=0\\&\\&2a^2x-4x^3=0\\&a^2-2x^2=0\\&x=\frac a{\sqrt 2}=\frac{a \sqrt 2}{2}\\&\\&máx(A_b(x))=\frac{4b}{a} ·\frac{a \sqrt 2}{2}·\sqrt{a^2-\frac {2a^2}{4}}=\\&\\&2b \sqrt 2·\sqrt{\frac{a^2}{2}}=2ab\end{align}$$

Supongamos que hacemos la piramide paralela al eje z, en el plano

z=d  donde |d|<= |c|

La elipse que corta el plano es:

$$\begin{align}&\frac {x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{d^2}{c^2}=1\\&\\&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{d^2}{c^2}=\frac{c^2-d^2}{c^2}\\&\\&\frac{x^2}{\frac{a^2(c^2-d^2)}{c^2}}+\frac{y^2}{\frac{b^2(c^2-d^2)}{c^2}}=1\\&\\&\text{de acuerdo con los cálculos anteriores el área maxima de la base es}\\&\\&A_b=2· \frac ac· \sqrt{c^2-d^2}·\frac bc·\sqrt{c^2-d^2}=\frac{2ab(c^2-d^2)}{c^2}\\&\\&\text{Y la altura de la piramide es}\\&h=c-d\\&\\&\text{luego el volumen es:}\\&\\&V(d)=\frac 13 \frac{2ab(c^2-d^2)}{c^2}(c-d)=\frac{2ab}{3c^2}(c^3-c^2d-d^2c+d^3)\\&\\&\text{para maximizarlo respecto de d derivamos respecto de d}\\&\\&V'(d)=\frac{2ab}{3c^2}(-c^2 -2dc+3d^2)=0\\&\\&3d^2-2cd-c^2=0\\&\\&d=\frac{2c\pm \sqrt{4c^2+12c^2}}{6}=\frac{2c\pm4c}{6}=c\quad y\;-\frac 23c\\&\end{align}$$

 La respuesta d=c no sirve pues la altura sería 0 y el volumen 0, luego la que maximiza es -(2/3)c.

Vamos a ver cula es el volumen máximo que se obtiene con un plano paralelo a z

$$\begin{align}&V=\frac 13 \frac{2ab(c^2-d^2)}{c^2}(c-d)=\\&\\&\frac{2ab}{3c^2}\left(c^2-\frac 49 c^2  \right)\left(c-\frac{2}{3}c  \right)=\\&\\&\frac{2ab}{3c^2}·\frac 59c^2·\frac 13c= \frac {10}{81}abc\\&\\&\end{align}$$

Y el resultdo es curiosísimo.  Yo pensaba que paralela a cada eje habría tres piramides con mayor área posible distinta.  Pero el volumen solo depende por igual de las tres constantes a,b y c luego las tres que se pueden cosntruir tendrán el mismo volumen que es el dicho arriba.

Recordar los datos fundamentales de la construcción:

$$\begin{align}&\text{La base está a distancia }\\&\left(\frac 53\text{del semieje correspondiente}\right)\\&\text{del vertice.}\\&\\&\text{Los vertices de la base estan a distancia}\\&\left(\frac {\sqrt 2}{2}\text{ de los semiejes correspondientes}\right)\\&\text{del centro de la elipse.}\\&\end{align}$$

Veo que has puntuado antes de que terminara la respuesta.  Esta respuesta por su complejidad y bien hecha que está no merece otra calificación que Excelente, te ruego que la cambies. Así podrás consultarme las dudas si las tiees o tener derecho a otras respuestas.

Y eso es todo.

Como te decía, la página se come cosas, al final decía que esperaba que te sirviera y lo hubieras entendido y te daba saludos, pero todo eso se lo ha comido y ahora no sé lo que se comerá.

Espera que he visto un fallo gordo, aparte de cien mil erratas de teclado.

La respuesta de d que vale es -c/3, no -(2/3)c como había escrito, déjame un rato que miro si hay algo más mal y corrijo la solución.

Haciendo la corrección esa tendremos.

$$\begin{align}&V=\frac 13 \frac{2ab(c^2-d^2)}{c^2}(c-d)=\\&\\&\frac{2ab}{3c^2}\left(c^2-\frac 19 c^2  \right)\left(c-\frac{c}{3}  \right)=\\&\\&\frac{2ab}{3c^2}·\frac 89c^2·\frac 23c=\frac {32}{81}abc\end{align}$$

Ahora si, antes me parecía que el volumen era muy pequeño, ahora concuerda más con la imagen visual que tengo.

Entonces hay que cambiar que la distancia de la base al vértice será 4/3 del eje correspondiente, si la base es paralela al plano z=0 será el plano z=-c/3 y el vértice (0,0, c). Si es paralela al plano x=0 será x=-a/3 y el vértice (a, 0,0), y si es paralela al plano y=0 estará en el plano y=-b/3 y el vértice será (0, b, 0).

Esta es una gráfica para una piramide con a=5, b=4, c^=3

Recuerdo que debes subir la valoración para que conteste más preguntas tuyas.

Muchas gracias, también tengo esa duda de que si este mismo ejercicio se puede resolver por lagrange.

En la parte donde se halla finalmente en volumen máximo yo creó que sería, c-d=c+c/3 pues d=-c/d o me equivoco

En la parte donde se halla finalmente en volumen máximo yo creó que sería, c-d=c+c/3 pues d=-c/3 o me equivoco.

Es un problema algo complicado y sé que hay algo mal porque por otros cálculos el volumen para esa misma pirámide me sale (8/9)abc. Déjame que lo revise cuando tenga un poco más de tiempo.

Espera, tienes razón en lo que dices deja que rehaga las cuentas

$$\begin{align}&V=\frac 13 \frac{2ab(c^2-d^2)}{c^2}(c-d)=\\&\\&\frac{2ab}{3c^2}\left(c^2-\frac 19 c^2  \right)\left(c+\frac{c}{3}  \right)=\\&\\&\frac{2ab}{3c^2}·\frac 89c^2·\frac 43c=\frac {64}{81}abc\end{align}$$

Ya se parece más pero aun no es el volumen que yo creo.  Ya te avisaré cuando me haya aclarado del todo.

Respecto a lo de Lagrange no encuentro la forma de encajarlo en este ejercicio. Nunca me gustaron mucho los multiplicadores de Lagrange, pero si me daban el problema de forma explícita (calcula el máximo de esta función ligado a esta ecuación) los calculaba, pero si me pides que yo tenga que deducir la función y la ecuación para usar Lagrange se me da mal.

Pondré los saludos no al principio de línea a ver si así la máquina no se los come.