Determine una función para representar
Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal con tapa que tenga una superficie total de 80cm2. Determine una función para representar el volumen en términos de la altura del cilindro
1 Respuesta
El volumen del cilindro es
V = S * h
Donde S es la superficie de la base y h es la altura del cilindro, por ser un cilindro, en realidad la base es un círculo, así que se puede escribir como
V = Pi * r^2 * h
Lo que no llego a interpretar del enunciado es si los 80cm2 son solo de las tapas, o es la superficie total del recipiente. Yo voy a interpretar que es de esta última forma y tenemos que la superficie es
S = 2 * bases + lateral
S = 2 * Pi * r^2 + h * Pi * 2 * r
80 = 2 * Pi * r^2 + h * Pi * 2 * r
80 - 2 * Pi * r^2 = h * Pi * 2 * r
h = (80 - 2 * Pi * r^2) / (Pi * 2 * r)
h = 40 / (Pi * r) - r
Reemplazando esta expresión en la fórmula de V, tenemos
V = Pi * r^2 * (40 / (Pi*r) - r)
V = 40 * r - Pi * r^3
Ohoh... me quedó el volumen en función del radio, así que vuelvo a plantear S, pero ahora voy a despejar r en la ecuación
80 = 2 * Pi * r^2 + h * Pi * 2 * r
40/Pi = r^2 + r h
Y no queda algo fácil para despejar "r" ... así que supongo que el valor de S en realidad era para las tapas y no para todo el recipiente... por favor verifica antes de seguir metiéndonos en cuentas que no se si nos van a llevar a algún lado...
Lo que me pide es determinar una función para el volumen, en términos de altura
Me puse a "jugar" un poco con la expresión, y pude simplificarla un poco... veamos
$$\begin{align}&Sabemos\ que\\&V = \pi r^2 h\\&S=80=\pi r^2 2 + 2 \pi r h \text{ (la base dos veces + el lateral del cilindro)}\\&40 = \pi r^2 + \pi r h\\&\text{voy a agarrar el segundo termino y multiplicar y dividir por "r"}\\&40 = \pi r^2 + \frac{\pi r h}{r}r\\&40 = \pi r^2 + \frac{\pi r^2 h}{r}\\&40 = \pi r^2 (1+ \frac{h}{r})\\&De\ la\ primer\ ecuación\ tenemos\\&\frac{V}{h}=\pi r^2\\&Reemplazando\ en\ la\ otra\ ecuación\\&40 = \frac{V}{h} (1+ \frac{h}{r})\\&40 = V (\frac{1}{h}+ \frac{1}{r})\\&40 = V (\frac{r+h}{hr})\\&V = \frac{40hr}{r+h}\\&\\&\end{align}$$Y esa podría llegar a ser una expresión para el volumen (aunque sigue dependiendo del radio de la base...)