La estación A de guardacostas esta 200mi al este de otra estación B. Un barco navega en una línea paralela y
50mi al norte de la recta que pasa por A y B. Se mandan señales de radio de A y B a una velocidad de 980 pies/µs (pies por microsegundo). A la 1 : 00 P.M. La señal de B llega al barco 400µs después de la señal de A. Determine la posición del buque a esa hora
1 respuesta
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Como odio las pulgadas, pies, yardas, millas y similares.
1 pie = 0.3048m
1 milla náutica = 1852 m
Luego
Milla naútica = 1852 / 0.3048 = 6076.115486 pies
Velocidad en millas/µs de las señales
980 pies/µs = 980/6076.115486 millas/µs = 0.161287257 millas/µs
El lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de distancias a dos focos es constante es una hipérbola.
Sean A y B los focos de esa hiperbola. La constante 2a que es la diferencia de las distancias de un punto a A y a B será
2a = 400µs · 0.161287257 millas/µs = 64.51490281 millas
Otra constante de la hipérbola es la distancia focal
2c = d(A,B)
Y la otra es
$$\begin{align}&b^2 = a^2-c^2=\\&\\&\left(\frac{64.51490281}{2}\right)^2-\left(\frac{\overline{AB}}{2}\right)^2\\&\\&\\&\text{la ecuación de la hipérbola con centro}\\&\text {entre A y B es}\\&\\&\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\&\\&\frac{x^2}{\left(\frac{64.51490281}{2}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{64.51490281}{2}\right)^2-\left(\frac{\overline{AB}}{2}\right)^2}=1\\&\\&\text{Cuando la distancia en el eje Y es 400}\\&\\&\frac{x^2}{1040.543171}-\frac{400^2}{1040.543171-\frac{\overline{AB}^{\;2}}{4}}=1\\&\\&x=-\sqrt{1040.543171\left( 1-\frac {160000}{1040.543171-\frac{\overline{AB}^{\;2}}{4}} \right)}=\\&\\&-\sqrt{1040.543171\left( 1-\frac {640000}{4162.172684-\overline{AB}^{\;2}} \right)}=\\&\\&-\sqrt{1040.543171\left( \frac {-635837.8273-\overline{AB}^{\;2}}{4162.172684-\overline{AB}^{\;2}} \right)}=\\&\\&-32.2574514 \sqrt{ \frac {\overline{AB}^{\;2}+635837.8273}{\overline{AB}^{\;2}-4162.172684}}\\&\end{align}$$El signo - delante de la raíz cuadrada es porque el barco está mas cerca de A que lo he supuesto a la izquierda. Recordar que el sistema de referencia tiene el origen en el centro del segmento AB.
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Y eso es todo.
