Como puedo expresar el siguiente problema como una ecuación diferencial?

Se lanza una pelota hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 200 pies de altura con una velocidad de 40 metros por segundo. Tome la dirección positiva hacia arriba y el origen del sistema de coordenadas a nivel del suelo. ¿Cuál es el problema de valor inicial para la posición, x (t), de la pelota en el tiempo t?

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Respuesta

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Quedaría mejor llamar a la función y(t) en lugar de x(t) porque el movimiento es el eje Y, quedará más claro y es lo que voy a hacer.

Dada la función de posición en el eje Y y(t) tenemos que la velocidad es la derivada de y respecto del tiempo

v(t) = y'(t)

y la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo

a(t)= v'(t)

Luego la relación entre posición y acelaración es

y''(t) = a(t)

La aceleración es la provocada por la fuerza de la gravedad que en puntos próximos a la superficie terrestre se toma como constante y vale g=9.8 m/s^2  como está aceleración tiene dirección hacia abajo debe llevar el signo negativo

a=-9.8 m/s^2

Luego el problema es

y''(t) = -9,8

aunque se escribe simplificado

y'' = -9,8

Y al ser una ecuación de orden 2 se necesitan dos condiciones iniciales para despejar las dos constantes que saldrán en las integraciones.

De un lado conocemos la velocidad inicial, es decir y'(0)

y'(0) = 40

De otra parte sabemos el punto donde esta la pelota en el instante 0. Tomaremos altura 0 a ras de suelo, y tenemos que hacer la puñeta de transformar los pies en metros

1 pie = 0.3048 m

200 pies = 200 · 0.3048 = 60.96 m luego tomaremos

y(0) = 60.96

Luego resumiendo, el problema como ecuación diferncial es

y'' = -9.8

y'(0) = 40

y(0) = 60.96

Y la resolución es:

$$\begin{align}&y''=-9.8\\&\\&\int y''dt =\int-9.8 dt\\&\\&y' = -9.8t + C\\&\\&y'(0) = -9.8·0+C = 40\\&\\&C=40\\&\\&y'=-9.8t + 40\\&\\&\int y'dt = \int(-9.8t+40)dt\\&\\&y= -9.8·\frac {t^2}2+40t +C\\&\\&y(t) = -4.9t^2 +40t +C\\&\\&y(0) = -4.9·0^2+40·0+C = 60.96\\&\\&C= 60.96\\&\\&y(t) = -4.9t^2+40t+60.96\end{align}$$

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