Halle la dimensión, base y ecuaciones del subespacio formado por los vectores cuyascomponentes son
$$\begin{align}&(x_{3}+x_{2},x_{2},x_{3},2x_{3})\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Separemos las componentes en tantos vectores como parámetros distintos haya. Aquí aparecen dos parámetros, x2 y x3, entonces a un vector irá todo lo que sea x2 y a otro todo lo que sea x3
(x3+x2, x2, x3, 2x3) = (x3, 0, x3, 2x3)+ (x2, x2, 0, 0)=
x3(1, 0, 1, 2) + x2(1, 1, 0, 0)
Ya tenemos la base porque los dos vectores son independientes
B={(1,0,1,2) , (1,1,0,0)}
tiene dos vectores luego la dimensión es 2.
Y la ecuación del subespacio la obtenemos extrayendo las cuatro coordenadas
x1= x3+x2
x2 = x2
x3=x3
x4=2x3
La segunda y tercera no añaden nada, luego la ecuación el subespacio es
x1= x3+x2
x4=2x3
Que si quieres puedes ponerlas com
x1 - x2 - x3 = 0
2x3 - x4 = 0
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Y eso es todo.
