Esta integral como podria hacerla?

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Aleksandra!

·

Te propongo otro método, a lo mejor esta vez es más complicado que el que ya está.

$$\begin{align}&\int \frac{(ln\,x)^2}{x^2}dx=\int (ln\,x)^2·\frac 1x ·\frac {dx}x\\&\\&t=ln\,x  \implies x=e^t \implies \frac 1x=e^{-t}\\&dt =\frac{dx}x\\&\\&\int t^2e^{-t}\;dt=\\&\\&u=t^2 \qquad \quad du=2t\;dt\\&dv=e^{-t}dt\quad v=-e^{-t}\\&\\&=-t^2e^{-t}+\int2t\,e^{-t}dt=\\&\\&u=2t\qquad \qquad du=2\;dt\\&dv=e^{-t}\;dt\qquad v=-e^{-t}dt\\&\\&=-t^2e^{-t}-2te^{-t}+2\int e^{-t}=\\&\\&-t^2e^{-t}-2te^{-t}-2e^{-t}+C=\\&\\&-e^{-t}(t^2+2t+2)+C=\\&\\&-\frac 1x((ln\,x)^2+2\,ln\,x+2)+C\end{align}$$

Y eso es todo.

Dos veces por partes:

$$\begin{align}&\int \frac {(lnx)^2}{x^2}dx=\\&\\&u=ln^2x \Rightarrow du=2lnx·\frac{1}{x}dx\\&\\&dv=\frac{1}{x^2}dx \Rightarrow v=\int x^{-2}dx=-\frac{1}{x}\\&\\&=-ln^2x·\frac{1}{x}+2 \int lnx·\frac{1}{x^2}dx=(*)=I_1\\&\\&\\&\\&\int lnx·\frac{1}{x^2}dx=Partes=I_2\\&u=lnx \Rightarrow du=\frac{1}{x}\\&dv=x^{-2}dx \Rightarrow v=\frac{-1}{x}\\&I_2=-\frac{lnx}{x}-\int \frac{1}{x}·\frac{-1}{x}dx=\\&=-\frac{lnx}{x}+\int x^{-2}dx=\\&\\&-\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x}\\&\\&\\&(*)=I_1=\frac{-ln^2x}{x}+2 \Bigg( -\frac{lnx}{x}-\frac{1}{x} \Bigg )+C\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$