Duda con la continuidad de esta función

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Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en ese punto debe ser igual al límite en ese punto. Vamos a ver si existe el límite en x=-5 y se lo daremos a la función.

En x=-5 el denominador de la función se hace cero, para que el límite sea finito tendrá que ser 0 también el valor del numerador en x=-5, vamos a comprobarlo

-15(-5) + 17(-5)^2 + 4(-5)^3 = 75 + 425 - 500 = 0

Bien, podemos continuar.  Por el teorema del resto el polinomio (x-(-5)) =(x+5)

divide al numerador,  vamos a factorizarlo

4x^3 + 17x^2 - 15x = x(4x^2 + 17x -15) =

$$\begin{align}&x=\frac{-17\pm \sqrt{17^2+4·4·15}}{8}= \frac{-17\pm \sqrt {529}}{8}=\\&\\&\frac{-17\pm 23}{8}=-5 \;y \;\frac 34\\&\\&\text{La factorización es}\\&\\&4x^3+17x^2-15x=4x(x+5)\bigg(x-\frac 34\bigg)\\&\\&\text{Y el límite es}\\&\\&\lim_{x\to -5}\frac{4x(x+5)\bigg(x-\frac 34\bigg)}{x+5}=\\&\\&\lim_{x\to -5}4x\bigg(x-\frac 34\bigg)=4(-5)\left(-5-\frac 34\right)=\\&\\&-4·5\left(\frac{-20-3}{4}  \right)=-5(-23)=115\end{align}$$

Por lo tanto a la definición de la función que tenemos añadiremos que es válida en todos los puntos salvo para x=-5.  Y añadiremos este valor:

f(-5) = 115

Es un función racional. Su dominio son todos los números reales menos aquellos que

anulan el denominador (x+5=0), ya que no se puede dividir por cero.

Hay que calcular el valor del límite de la función en x=-5, y si da finito ese es el valor buscado. Recuerda que para que una función sea continua en un punto ha de cumplir:

$$\begin{align}&f(a)= \lim_{x \to a}f(x)\\&\\& \lim_{x \to -5} \frac{4x^3+17x^2-15x}{x+5}=\frac{4·(-5)^3+17(-5)^2-15(-5)}{-5+5}=\\&\\&\frac{-500+425+75}{-5+5}=\frac{0}{0}=simplificando \ la \ fracción=(*)\\&\\&factorizando \ 4x^3+17x^2-15x=x(4x^2+17x-15)\\&\\&\frac{-17 \pm \sqrt{17^2-4(4)(-15)}}{2·4}=\frac{-17 \pm \sqrt{289+240}}{8}=\frac{-17 \pm \sqrt{529}}{8}=\\&\\&=\frac{-17 \pm 23}{8}=\\&x_1=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\\&\\&x_2=\frac{-40}{8}=-5\\&\\&(*)=\lim_{x \to -5}\frac{4x(x-\frac{3}{4})(x+5)}{x+5}=\lim_{x \to -5}\frac{x(4x-3)(x+5)}{x+5}=\\&\\&=\lim_{x \to -5} x(4x-3)=-5(-23)=115\end{align}$$

La función no tiene imagen en x=-5 pero si tiene límite en x=-5 (da 115).

Se dice que tiene una discontinuidad evitable en x=-5, y se evita definiendo

f(-5)=115

Recuerda que para resolver la indeterminación 0/0 en límites, lo que hay que hacer es simplificar la fracción. Recuerda también que para simplificar fracciones algebraicas hay que dominar bien la factorización de polinomios.