Ejercicio sobre variable aleatoria continua con funcion de demsidad

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Para que sea una función de densidad debe cumplir que la integral de la función de densidad entre - infinito e infinito sea 1.

No ha salido bien el cuadro donde defines la función,

Creo que podría ser

a(3x-x^2) si  0<=x<=2

0 en otro caso

Si es otra cosa ya me lo dirás.

Como te decía antes la integral es entre -infinito e infinito, pero en la practica puede ser entre dos valores finitos si solo entre ellos hay función de densidad no nula.

$$\begin{align}&P(-\infty\le X\le \infty)=\int_0^2a(3x-x^2)dx =\\&\\&a\left[\frac{3x^2}{2}-\frac {x^3}3  \right]_0^2=\\&\\&a\left( 6-\frac 83 \right)=\frac {10}3a=1\\&\\&\text{luego }a=\frac 3{10}\\&\\&\\&\text{ b) Para calcular }P(1\le X\le2)\\&\text{tomaremos la función con a=3/10}\\&\text{e integraremos entre 1 y 2}\\&\\&P(1\le X\le 2)=\int_1^2 \frac 3{10}(3x-x^2)dx=\\&\\&\frac 3{10}\left[\frac{3x^2}2-\frac{x^3}{3}  \right]_1^2=\frac 3{10}\left(6-\frac 83-\frac 32+\frac 13  \right)=\\&\\&\frac 3{10}\left(\frac{36-14-9}{6}  \right)=\frac 3{10}·\frac{13}{6}=\frac {13}{20}=0.65\end{align}$$

Y eso es todo.