Sobre la definición de derivada, ¿Cierto o falso?
Para las siguientes afirmaciones, decir cuáles son ciertas y cuales falsas. En caso de las ciertas, demostrarlas y en caso de las falsas, dar un ejemplo que lo muestre.
Supóngase que f es derivable e a entonces:
a) limite, cuando h tiende a cero, de [f(a) - f(a-h)] / h = f'(a)
b) limite, cuando t tiende a cero, de [f(a+2t) - f(a)] / t = f'(a)
c) limite, cuando t tiende a cero de [f(a+2t) - f(a+t)] / 2t = f'(a)
Me suena a que (a) es verdadero y los incisos b y c son falsos. Pero no estoy segura.
Así me suena, al calcular los límites con regla de L'Hopital. Pero en el curso no se ha visto esta regla aún y no nos permiten aplicarla por ahora.
1 Respuesta
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Descuida, yo soy el mayor defensor de hacer los límites sin usar la regla de l'Hôpital porque sé que no os dejan usarlos y han sido muchas las veces que habiendo resuelto alguien aquí por l'Hôpital lo he hecho yo sin aplicarlo. Pero hay veces que no queda otro remedio que usarlo, ¡Eh!
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a) Es cierto. Es la definición de derivada, o al menos es una y la más usada de las dos definiciones que hay.
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b)
Es falso. El incremento de x que se puede llamar h, t, 2t o lo que quieras con tal que tienda a cero, debe ser el mismo en f(x+incremento de x) que en el denominador. Aqui tienes 2t y t, por lo tanto no se cumple eso. Si hubieras puesto 2t y 2t en los dos sitios hubiera valido.
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c)
Falso. Aqui se ha arreglado lo de que el incremento de x sea igual en el numerador y denominador, pero lo que se resta siempre si es la derivada en el punto a es f(a), no sirve f(a+t)
Perdona. No leí bien el primer apartado. Sigue sienndo verdadero pero no por lo que dije sino por este razonamiento que expongo
$$\begin{align}&\lim_{h \to 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\\&\\&-\lim_{h \to 0}\frac{f(a-h)-f(a)}{h}=\\&\\&\lim_{h \to 0}\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}=\\&\\&\text{llamando t=-h}\\&\\&\lim_{t \to 0}\frac{f(a+t)-f(a)}{t}=f'(a)\end{align}$$
¡Gracias! Profesor, por estar ahí, resolviendo dudas de manera tan clara y de forma tan amable y completa.
Ya tengo los ejemplos para mostrar que b y c no se cumplen.
P.D. Porfesor, llevo mucho tiempo tratado de enviar las gracias y no me deja. Le doy "enviar" y me redirecciona a otra página
