Tema variable compleja sobre senos y cosenos hiperbolicos

$$\begin{align}&Defina\ senhz=\frac{e^z-e^{-z}}{2}\ y\ coshz=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\\&Para\ todo\ \mathbf{z}\in\mathbb{C}\\&Demuestre\ que:\\&\mathcal{i} )cosh^2z-senh^2z=1\\&\mathcal{ii} )senh(z_1+z_2)=senhz_1,coshz_2+coshz_1,senhz_2\\&\mathcal{iii} )cosh(z_1+z_2)=coshz_1,coshz_2+senhz_1,senhz_2\end{align}$$

saludos y muchas gracias por ayudar

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La primera es la misma demostración que sirve para variable real

$$\begin{align}&i)\quad ch^2z-sh^2z=\\&\\&\left(\frac{e^z+e^{-z}}{2}  \right)^2-\left(\frac{e^z-e^{-z}}{2}  \right)^2=\\&\\&\frac{e^{2z}+e^{-2z}+2e^{z}e^{-z}}{4}- \frac{e^{2z}+e^{-2z}-2e^{z}e^{-z}}{4}=\\&\\&\frac{e^{2z}-e^{2z}+e^{-2z}-e^{-2z}+2-(-2)}{4}=\frac 44=1\\&\\&\end{align}$$

Y para la segunda y tercera también sirve la misma que para real. Pero mejor usar letras distintas que la misma con subíndices, queda más claro a la vista y cuesta menos escribirlo, usaré las letras x, y

$$\begin{align}&shx·chy+chx·shy=\\&\\&\frac{e^x-e^{-x}}{2}·\frac{e^y+e^{-y}}{2}+\frac{e^x+e^{-x}}{2}·\frac{e^y-e^{-y}}{2}=\\&\\&\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}=\\&\\&\frac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}=\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}=sh(x+y)\\&\\&---------------------------\\&\\&chx·chy+shx·shy=\\&\\&\frac{e^x+e^{-x}}{2}·\frac{e^y+e^{-y}}{2}+\frac{e^x-e^{-x}}{2}·\frac{e^y-e^{-y}}{2}=\\&\\&\frac{e^{x+y}+e^{x-y}+e^{-x+y}+e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{x-y}-e^{-x+y}+e^{-x-y}}{4}=\\&\\&\frac{2e^{x+y}+2e^{-x-y}}{4}=\frac{e^{x+y}+e^{-(x+y)}}{2}=ch(x+y)\end{align}$$

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Y eso es todo.

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