Determinar el área de la región limitada por las curvas: y=x^4-x^2, y=4x^2 Realizando su gráfica e integral
Me ayudan por favor a determinar el área de la región limitada por las curvas: y=x^4-x^2, y=4x^2 Realizando su gráfica e integral
2 Respuestas
Como primera instancia te dejo la imagen donde se pueden ver un par de cosas:
1) La función y=x^2 es la marrón ; y=x^4-x^2 es la azul
2) las función van (aprox) en (-3,3) para x ; (-0.5; 20) para y
3) en el rango en cuestión, la función y=x^2 es mayor a la función y=x^4-x^2
4) A izquierda y derecha del eje y las funciones son simétricas (por lo que, para calcular el área, lo haremos directamente entre 0 y el punto de corte positivo y luego multiplicamos por dos (de esta forma simplificamos los cálculos)
5) Análisis
$$\begin{align}&y=x^2 \land y = x^4 - x^2\\&x^2 = x^4-x^2\\&0 = x^4-2x^2\\&0 = x^2(x^2-2)\\&x_1 = 0; x_2=-\sqrt{2}; x_3=+\sqrt{2}\\&(integro\ entre\ 0\ y \ +\sqrt{2})\\&\int_0^{\sqrt{2}}x^2-(x^4-x^2)\ dx = \int_0^{\sqrt{2}}2x^2-x^4 \ dx = \\&(2{x^3 \over 3}-{x^5 \over 5}) \Bigg|_0^{\sqrt{2}}=(2{(\sqrt{2})^3 \over 3}-{(\sqrt{2})^5 \over 5}) - (0)=\\&(2{(\sqrt{2})^3 \over 3}-{(\sqrt{2})^5 \over 5}) = 0,754247\\&(el\ área\ total\ en\ realidad\ es\ el\ doble)\\&Area = 2*0,754247=1,508494\end{align}$$Puedes dejarlo con los decimales (como hice yo) o expresado en términos de la raíz cuadrada. Acá depende de los gustos que tenga tu profesor.
En el análisis tipeé mal la función superior, puse y=x^2 y en realidad es y=4x^2, ajustando esto queda (también cambia el límite de integración que va de cero a raiz(5)
$$\begin{align}&\int_0^{\sqrt{5}}4x^2-(x^4-x^2) \ dx = \int_0^{\sqrt{5}}5x^2-x^4 \ dx =\\&5{x^3 \over 3}- {x^5 \over 5} \Bigg|_0^{\sqrt{5}}=\\&(5{\sqrt{5}^3 \over 3}- {\sqrt{5}^5 \over 5}) - (0)=\\&{\sqrt{5}^3}\bigg({5 \over 3}- {\sqrt{5}^2 \over 5}\bigg)=\\&5\sqrt{5}\bigg({5 \over 3}- {5 \over 5}\bigg)=\\&5\sqrt{5}\bigg({2 \over 3}\bigg)= {10\sqrt 5 \over 3} \approx 7,4536\\&y\ el\ area\ total\\&2*7,4536 \approx 14,9072\end{align}$$
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Hagamos primero la gráfica. La mía no va a queddar tan bien pero es la verdadera ya que guarda la misma proporción de los ejes X e Y y se podría calcular el área a ojo, aunque en esta será difícil. También es más difícil ver los puntos de corte pero lo resolveremos algebraicamente. Vamos ya con ello.
$$\begin{align}&y=x^4-x^2 \\&y=4x^2\\&\\&x^4-x^2=4x^2\\&\\&x^4-5x^2=0\\&\\&\text{primer corte x=0}\\&\\&x^2-5=0\\&\\&x^2=5\\&\\&x=\pm \sqrt 5\end{align}$$En la otra respuesta cambiaron 4x^2 por x^2 y no dan los cortes correctos.
Bueno, en la gráfica se ve que las funciones son simétricas respecto del eje Y, luego se integra en un lado y se multiplica por 2.
Que son simétricas también se puede calcular algebraicamente sin ninguna dificultad, basta probar que f(x)=f(-x) y no lo voy a hacer de fácil que es comprobarlo.
Vemos que la función superior es y=4x^2 luego esa será la que pongamos como minuendo
$$\begin{align}&A=2\int_0^{\sqrt 5}\left(4x^2-\left(x^4-x^2\right)\right)dx=\\&\\&2\int_0^{\sqrt 5}\left(5x^2-x^4 \right)dx=\\&\\&2\left[\frac{5x^3}{3}-\frac{x^5}{5} \right]_0^{\sqrt 5}=\\&\\&2\left(\frac{25 \sqrt 5}3-5 \sqrt 5 \right)=2\left(\frac{10 \sqrt 5}{3}\right)=\\&\\&\frac{20 \sqrt 5}{3}\approx 14.09711985\\&\\&\end{align}$$Y la misma gráfica hecha a escala real da cierta vesosimilitud a la respuesta, no obstante compruebo con el ordenador que al menos está bien hecha la integral.
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Y eso es todo.