¿Cómo conseguir que u sea un logaritmo?

En el ejemplo que te pongo considero como inmediata la integral del lnx, que es:

$$\begin{align}&\int lnx=xlnx -x\\&\\&\\&\int ln^2xdx=I\\&u=lnx \Rightarrow du= \frac{1}{x}\\&dv=lnx \Rightarrow v=xlnx-x\\&\\&I=uv- \int vdu=\\&lnx·(xlnx-x)- \int(xlnx-x)\frac{1}{x}dx=\\&\\&lnx·(xlnx-x)-\int(lnx-1)dx=\\&\\&lnx·(xlnx-x)-(xlnx-x-x)=\\&\\&xln^2x-2xlnx+2x+C\\&\\&\end{align}$$

·

Hay que analizar el problema desde atrás hacia adelante. Como dv será un logaritmo habrá que integrarlo, vamos a ver lo que nos daría

$$\begin{align}&\int ln\,x\;dx=\\& u=lnx\quad\quad du=\frac{dx}{x}\\&dv=dx\quad\quad\;v=x\\&\\&= x\,ln\,x-\int dx=\\&x \ln\,x-x\\&\\&\text{Con esto la integral original es}\\&\\&\int u(x)·lnx\;dx=\\&\\&u= u(x)\quad\quad\quad du = u'(x)\;dx\\&dv=ln\,x\quad\quad\quad v=x\,ln\,x-x\\&\\&=u(x)·(x\,ln\,x-x)-\int(x\,ln\,x-x)u'(x)\;dx\end{align}$$

Entonces ahora debes buscar una fución u(x) tal que sepas integrar esa integral.  Una solución es que u'(x) sea 1/x con lo cual tendremos la integral de (lnx -1) que sabemos integrarla, pero como esa ya te la han hecho yo haré otra que tambien se puede integrar, hare que u'(x)=1, luego u(x) = x

Y ahora que hemos decidido la fución u, empezamos como si no hubiese pasado nada

$$\begin{align}&I=\int x·ln\,x \;dx=\\&\\&u=x\quad\quad\quad\quad du=dx\\&dv=ln\,x\;dx\quad v=x\,ln\,x-x\\&\\&x(x\,ln\,x-x)-\int (x\,lnx-x)dx=\\&\\&x^2ln\,x-x^2-\int x\,ln\,x\;dx + \frac {x^2}2\\&\\&\text{mejor que resolver esa integral  es}\\&\text{ver que hemos llegado a esto}\\&\\&I=x^2ln\,x-\frac{x^2}{2} - I\\&\\&2I=x^2ln\,x-\frac{x^2}{2}\\&\\&I=\frac{x^2ln\,x}{2}-\frac{x^2}{4}\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, en realidad esta integral se resuelve poniendo el logaritmo como u pero también puede resolverse poniéndolo como dv.