¿Como puedo resolver este problema de calculo diferencial?

El dominio de la suma de funciones debes buscarlo en cada uno de los dominios y el único que presenta inconvenientes es el x^2 que está como cociente. Esta función solo se anula en x=0. Por lo tanto el dominio es R \ {0}

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Por no poner paréntesis has escrito la función.

$$\begin{align}&y=x-\frac{4}{x^ 2}+x-20\\&\\&\text{pero me jugaría cualquier cosa a que}\\&\text{querías poner}\\&\\&y = \frac{x-4}{x^2+x-20}\\&\\&\text{tenías que haber escrito esto}\\&\\&y = (x-4)/(x^2+x-20)\\&\\&\text{o para quedar bien en el editor de texto}\\&\\&\text{y = \frac{x-4}{x^2+x-20}}\\&\\&\text{Luego vamos a hallar el dominio de}\\&\\&f(x) = \frac{x-4}{x^2+x-20}\end{align}$$

Una función que tiene numerador y denominador esta definida donde esté definido simultáneamente numerador y denominador y además el denominador sea distinto de 0.

Tanto numerador y denominador son polinomios que son funciones definidas en todo R, luego el dominio será todo R salvo los puntos donde el denominador sea 0. Vamos a calcularlos.

$$\begin{align}&x=\frac{1\pm \sqrt{1+80}}{2}=\frac{1\pm 9}{2}=-4\; y\; 5\\&\\&\text{Luego el dominio será}\\&\\&Dom \;f=\mathbb R-\{ -4,\;5 \}\end{align}$$

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Y recuerda, todo numerador o denominador compuesto debe ir entre paréntesis. Es que si no es imposible saber dónde empieza uno o dónde termina el otro.