Hallar la traza de la matriz

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La traza es la suma de los elementos de la diagonal principal

Es fácil comprobar que

tr(A+B) = tr(A) + tr(B)

$$\begin{align}&tr(A+B)=\sum_{i=1}^n(a_{ii}+b_{ii})=\sum_{i=1}^na_{ii}+\sum_{i=1}^nb_{ii}=tr(A)+tr(B)\end{align}$$

Y para tres matrices se hace igual.

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Lo que es un poco más complicado de entender es que

tr(AB) = tr(BA)

Aquí te dejo un video:

https://www.youtube.com/watch?v=NnUGD4BL0aU

Y lo que no cuesta nada entender es que

tr(-A) = - tr(A)

Con estas dos propiedades tenemos.

tr (In-AB+BA) = tr(In) + tr(-AB)+tr(BA) =

tr(In) - tr (AB) + tr(BA) =

tr(In) - tr(AB) + tr(BA) = tr(In)

Y la matriz In tiene todo unos en la diagonal, luego

tr(In) 1+1+1 +...+1 (n veces)

tr(In) = n

Y si nos dicen n=150 tendremos

tr (In-AB+BA) = n= 150