Determinar el área de la región limitada por las curvas dadas: y=9-xcuadrada, y=x+3

Lo primero que hay que hacer para ver cual es el área es igualar las funciones para ver en que puntos se cortan.

$$\begin{align}&y=9-x^2\\&y=x+3\\&9-x^2 = x+3\\&0=x^2+x-6\\&x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4(1)(-6)}}{2(1)} =\frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} \Rightarrow\\&x_1 = 2 \land x_2=-3\\&\\&\\&\end{align}$$

Corta en dos valores, así que queda delimitado una área. tomemos un punto entre ambos para ver cual de las funciones es mejor (x=0 es un buen candidato)

y=9-0^2=9

y=0+3 = 3

Por lo tanto, la cuadrática es mayor que la lineal en ese rango y hay que integrar la resta de ambas entre -3 y 2.

$$\begin{align}&\int_{-3}^{2}(9-x^2)-(x+3) \ dx= \int_{-3}^{2}(9-x^2-x-3) \ dx=\\&\int_{-3}^{2}(6-x^2-x) \ dx=6x - {x^3 \over 3}-{x^2 \over 2}\Bigg|_{-3}^{2}=\\&(6*2 - {2^3 \over 3}-{2^2 \over 2})-(6*(-3) - {(-3)^3 \over 3}-{(-3)^2 \over 2})=\\&(12-{8 \over 3}-2)-(-18+9-{9 \over 2})=12-{8 \over 3}-2+18-9+{9 \over 2}= {125 \over 6}=20,8\overline{3}\\&\end{align}$$

y creo que eso es todo.