√x+x^2y +e^xy =ln(x+y)funcion implícita, suponiendo que ( y) depende de ( x). Calcular d/dx[1/2x√4+1 +sen^1(x/2)]

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¿Es verdad lo que veo de la y y la x en el exponente o es una ilusión, es que esas son muy difíciles.

Primero hay que aclarar el enunciado, luego decir que haré solo una por pregunta.

De lo que has escrito en la primera se deduce

$$\begin{align}&a)\quad \sqrt x+x^2y +e^xy =ln(x+y)\\&\\&\\&\text{porque esta sería mortal}\\&\\&b) \quad \sqrt x+x^{2y} +e^{xy} =ln(x+y)\\&\end{align}$$

Dime ¿cuál es?

Y en la segunda no entiendo. Todo lo que vaya dentro de la raíz cuadrada debe ir entre paréntesis, y todo lo que sea el denominador también debe ir entre paréntesis.

Espero las aclaraciones, aunque las de la segunda derivada para otra pregunta.

Voy a resolver la primera derivada implícita de acuerdo a la función primera que he puesto, que la otra no te la han podido poner.

Ya sabes, se deriva toda la expresión respecto de x considerando "y" como función de x, poniendo y' allá donde haya que derivarla, y después de eso se despeja y'.

$$\begin{align}&\sqrt x+x^2y +e^xy =ln(x+y)\\&\\&\frac{1}{2 \sqrt x}+2xy+x^2y'+e^xy+e^xy' = \frac{1+y'}{x+y}\\&\\&\text{separamos los sumandos con y' de los que no}\\&\\&\frac{1}{2 \sqrt x}+2xy+x^2y'+e^xy+e^xy' = \frac{1}{x+y}+\frac{y'}{x+y}\\&\\&\text{pasamos a la izquierda todos los de y' y los otros a la derecha,}\\&\text{aprovechamos ya para sacar factor común y' en la izquierda}\\&\\&\left(x^2+e^x-\frac{1}{x+y}\right)y'=\frac{1}{x+y}-\frac{1}{2 \sqrt x}-2xy-e^xy\\&\\&\text{y pasamos el factor grande izquierdo a la derecha}\\&\\&y' = \frac{\frac{1}{x+y}-\frac{1}{2 \sqrt x}-2xy-e^xy}{x^2+e^x-\frac{1}{x+y}}\end{align}$$

Y eso es todo, intentar simplificar estas derivadas suele llevar a expresiones donde hay que hacer más operaciones, no merece la pena.  Recuerda mandar la otra derivada con los paréntesis bien puestos en otra pregunta

Me temo que la función que he resuelto no era porque me han mandado otro ejercicio donde la raíz cuadrada lo abarca todo. Pero tu no habías puesto los paréntesis que indicaran la longitud del radicando, luego he resuelto lo que ponía. Y si era otra cosa mándame el ejercicio en otra pregunta. Cada rabajo requiere su recompensa y no os cuesta nada.

Valero Angel, es la primera ecuación pero la raíz abarca hasta x^2y  la e^no entra dentro de la raíz pero la xy perteneciente a (e) son el exponente