Hallar el dominio de la función sqrt2x^2-5x-12

La función sqrt es sqrt(), debe encerrarse entre paréntesis todo lo que entra dentro de la raíz cuadrada. Es paradójico, pero sucederá esto, si tu pones esa expresión en un programa de cálculo o gráficas de ordenador o en este editor de ecuaciones lo que va a interpretar es esto:

$$(\sqrt 2)\;x^2-5x-12$$

que no tiene nada que ver con el

$$\sqrt {2x^2-5x-12}$$

que supongo quieres poner.

Al tratarse de una raíz cuadrada el radicando debe ser positivo para que la raíz cuadrada esté definida, luego debe ser:

x^2 - 5x - 12 >=0

Resolvemos la ecuación con el igual a 0

$$\begin{align}&x=\frac{5\pm \sqrt{25+48}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{73}}{2}\approx\\ &\\ &-1.772\; y \;6.77\end{align}$$

Conociendo que esa figura es una parábola en forma de U ya sabemos que es positiva a los lados izquierdo de la raíz izquierda y derecho de la raíz derecha. Si no estás seguro de ese razonamiento, puedes tomar valores tales como -2, 0 y 7 en los tres intervalos que se crean y compruebas así el signo de cada intervalo.

Resumiendo:

$$Domf=\left(-\infty,\frac{5-\sqrt{73}}{2}\right]\cup \left[\frac{5+\sqrt{73}}{2},-\infty\right)$$

Y eso es todo.

Perdón, pero me podrías decir en donde, como y porque se pierde el coeficiente de la x^2, (2) ese es un paso que no me lo se, por favor y gracias.

Supongo que quieres decir cuando digo resolvemos la ecuación con el igual a 0.

No es más que aplicar la formula de la ecuación de segundo grado que sin lugar a dudas habrás estudiado.

$$\begin{align}&\text{Dada la ecuación}\\ &ax^2+bx+c=0\\ &\\ &\text{las soluciones son:}\\ &\\ &x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align}$$

y eso es lo que hecho aplicado a la ecuación

x^2 -5x -12 = 0

Las soluciones nos dicen los puntos donde la función vale 0 y a un lado u otro de ellas la función será positiva

x^2-5x-12 >= 0

Que es lo que nos piden averiguar.

No, no, es que me sigue quedando la duda, y disculpame si soy insistente (terco) lo que pasa es que la función es:

f(x) = raíz cuadrada de 2 x^2 - 5x -12, y tu la estas poniendo: raíz cuadrada de x^2-5x-12

o f (x) = sqrt ( 2x^2 - 5x - 12), la diferencia seria solo aplicar el coeficiente de la x^2 como a?

saludos.