Cual es la solución de la siguiente integral
Resolver PASO a PASO
$$\begin{align}&\int_{0.3}^{5}2ln-ln(x^2+4)+\frac{1}{2}arctan\frac{x}{2}+C\end{align}$$
1 respuesta
Saludos
Me había olvidado de agregar (x) después de 2ln.
Este ejercicio es la continuación de "Integral por el método de fracciones parciales (2)" que dice "sustituir los limites y calcular el área"
$$\begin{align}&\int_{0.3}^{5}2ln(x)-ln(x^2+4)+\frac{1}{2}arctan\frac{x}{2}+C\end{align}$$
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Cderouin!
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Imaginaba que faltaba eso, pero pregunté por si acaso. No es una integral de fracciones parciales, por lo que veo será por partes o eso creo. Y no hay cosa más pesada que resolver por partes arrastando los límites, se puede hacer dando explicaciones extra mientras escribes en la pizarra y yendo de un sitio a otro, pero solo con escrito hay que llevar un orden estricto de igualdades y no es nada cómodo, luego haré la integral indefinida primero y luego haremos toda la evaluación al final. Además las haré una por una.
$$\begin{align}&2\int lnx\;dx=\\&\\&u=ln\,x\quad\quad du=\frac{dx}{x}\\&dv=dx\quad\quad v=x\\&\\&=x·ln\,x-\int dx=x·lnx-x\\&\\&--------------\\&\\&\int ln(x^2+4)dx=\\&\\&u=ln(x^2+4)\quad\quad du=\frac{2x\;dx}{x^2+4}\\&dv=dx\quad\quad\quad\quad\quad v=x\\&\\&=x·ln(x^2+4)-\int \frac{2x^2}{x^2+4}dx=\\&\\&x·ln(x^2+4)-\int\left(2-\frac{8}{x^2+4}\right)dx=\\&\\&x·ln(x^2+4)-2x+8\int \frac{dx}{4\left(\left(\frac x2\right)^2+1 \right)}=\\&\\&x·ln(x^2+4)-2x+8·\frac 12\int \frac{\frac 12dx}{\left(\frac x2\right)^2+1}=\\&\\&x·ln(x^2+4)-2x+4 arctg \left(\frac x2 \right)\\&\\&\\&--------------------\\&\\&\int \frac 12 arctg\left( \frac x2\right)dx=\\&\\&u= \frac 12 arctg\left( \frac x2\right)\quad\quad du= \frac 12·\frac{\frac{dx}2}{1+\frac{x^2}{4}}=\frac{dx}{4+x^2}\\&dv=dx\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad v=x\\&\\&=\frac x2arctg\left( \frac x2\right)-\int \frac{x\,dx}{4+x^2}=\\&\\&\frac x2arctg\left( \frac x2\right)- \frac 12ln(4+x^2)\\&\end{align}$$Y la C que tienes al final me parece que no tendría que estar ahí y sobra.
Bueno, yo creo que ya es suficiente, lo que queda es pesado pero no es difícil, te dejo hacerlo.
El ordenador me dice que es
-5.497118311640793
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Y eso es todo.
Espera, en la primera integral puse el 2 delante pero luego no lo apliqué
$$\begin{align}&2\int lnx\;dx=2(x·lnx-x)\\&\\&\text{Y el resultado final es:}\\&\\&-1.788736908172502\end{align}$$Es fácil equivocarse cuando hay tantos detalles, revísalo todo.
