¿Cómo hacer demostraciones con conjuntos?
Tengo lo siguiente:
- Si A, B y C son tres conjuntos, entonces:
- A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
- A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
Hay que demostrar, pero honestamente no entiendo :(
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Son dos ejercicios, haré el primero. El otro es similar, si no puedes realizarlo y quieres que lo haga mándalo en otra pregunta distinta.
$$\begin{align}&\text{Se usará bastante}\\&A-B = A\cap B^c\\&(A\cap B)^c=A^c\cup B^c\\&(A\cup B)^c = A^c\cap B^c\\&A\subseteq B\;y\; B\subseteq A\implies A=B\\&\\&\\&\text{Sea }\; x\in A-(B \cup C)\\&x\in A\\&x\in (B\cup C)^c =B^c\cap C^c\\&x\in (A \cap B^c) \cap (A\cap C^c)=(A-B)\cap(A-C)\\&luego \\&A-(B\cup C) \subseteq (A-B)\cap(A-C)\\&\\&\\&\\&\text{Sea }\; x\in (A-B)\cap(A-C)\\&x\in (A\cap B^c)\cap (A\cap C^c)\\&x\in A\cap(B^c\cap C^c)\\&x\in A\cap(B\cup C)^c\\&x\in A-(B\cup C)\\&luego\\& (A-B)\cap(A-C)\subseteq A-(B\cup C)\\&\\&\text{y como consecuencia de las dos}\\&\\& A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C)\\&\\&\end{align}$$
