Calculo diferencial-Aplicación de la derivada: Dada la función...

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La derivada es un límite:

$$\begin{align}&Si\; x\lt0\implies f'(x)=-4x^3\\&Si\; x\gt 0\implies f'(x)=4x^3\\&Si\;x=0\\&f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}=\\&\\&Si\; h\lt 0 \implies \lim_{h\to 0^-}\frac{-h^4}{h}=\lim_{h\to 0^-}(-h^3)=0\\&\\&Si\; h\gt 0 \implies \lim_{h\to 0^+}\frac{h^4}{h}=\lim_{h\to 0^+}(h^3)=0\\&\\&\text{como coinciden los limites laterales}\\&f'(0) = 0\end{align}$$

Y lo mismo haremos con la derivada segunda basada en la primera

$$\begin{align}&Si\; x\lt0\implies f''(x)=-12x^2\\&Si\; x\gt 0\implies f''(x)=12x^2\\&Si\;x=0\\&f''(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f'(h)-f'(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(h)}{h}=\\&\\&Si\; h\lt 0 \implies \lim_{h\to 0^-}\frac{-4h^3}{h}=\lim_{h\to 0^-}(-4h^2)=0\\&\\&Si\; h\gt 0 \implies \lim_{h\to 0^+}\frac{4h^3}{h}=\lim_{h\to 0^+}(4h^2)=0\\&\\&\text{como coinciden los limites laterales}\\&f''(0) = 0\end{align}$$

Y con la tercera lo mismo

$$\begin{align}&Si\; x\lt0\implies f'''(x)=-24x\\&Si\; x\gt 0\implies f'''(x)=24x\\&Si\;x=0\\&f'''(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f''(h)-f''(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f''(h)}{h}=\\&\\&Si\; h\lt 0 \implies \lim_{h\to 0^-}\frac{-12h^2}{h}=\lim_{h\to 0^-}(-12h)=0\\&\\&Si\; h\gt 0 \implies \lim_{h\to 0^+}\frac{12h^2}{h}=\lim_{h\to 0^+}(12h)=0\\&\\&\text{como coinciden los limites laterales}\\&f'''(0) = 0\end{align}$$

Luego ya hemos demostrado que:

f '(0) = f ''(0) = f '''(0) = 0

Y ahora vamos con la cuarta pero solo en el 0, no la necesitamos en los demás puntos para lo que nos preguntan

$$\begin{align}&f^{(4)}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f'''(h)-f'''(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f'''(h)}{h}=\\&\\&Si\; h\lt 0 \implies \lim_{h\to 0^-}\frac{-24h}{h}=-24\\&\\&Si\; h\gt 0 \implies \lim_{h\to 0^+}\frac{24h}{h}=24\\&\\&\text{como nocoinciden los limites laterales}\\&\\&f^{(4)}(0)\quad \text{no existe}\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Sino es así pregúntame.  Y si ya está bien, no olvides puntuar.