Problema con álgebra operaciones con radicales

$$\begin{align}&\sqrt{12+\sqrt{140}}=\sqrt a + \sqrt b\\&\\&Elevando \ al  \  cuadrado\\&\\&12+\sqrt {140} =a+b+2 \sqrt {ab}\\&\\&Monto \ el \ sistema:\\&parte\ entera:12=a+b\\&parte \ radical  \ al \ cuadrado:140=4ab\\&\\&Resolviendo \ sistema\\&b=12-a\\&140=4a(12-a)\\&4a^2-48a+140=0\\&a=7\\&b=5\\&\sqrt{12+\sqrt{140}}=\sqrt 7 + \sqrt 5\\&\\&Analogamente:\\&\sqrt{8+\sqrt{28}}=\sqrt x + \sqrt y\\&8+ \sqrt 28=x+y+2 \sqrt x \sqrt y\\&Sistema:\\&8=x+y\\&28=4xy\\&Resolviendo\\&x=7\\&y=1\\&luego\\&\sqrt{8+\sqrt{28}}= \sqrt 7 +1\\&\\&Analogamente\\&\sqrt{11- \sqrt{120}}= \sqrt x - \sqrt y\\&11- \sqrt {120}=x+y-2 \sqrt x \sqrt y\\&x+y=11\\&120=4xy\\&Resolviendo \ Sistema\\&x=6\\&y=5\\&Luego\\&\sqrt{11- \sqrt{120}}= \sqrt 6 - \sqrt 5\\&\\&Analogamente \ el \ último \ queda\\&\sqrt{7- \sqrt {24}}=\sqrt 6 -1\\&\\&Operando \ los \ cuatro \ radicales\\&\\&\sqrt{12+\sqrt{140}}- \sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{11- \sqrt{120}}-\sqrt{7- \sqrt {24}}=\\&\sqrt 7 + \sqrt 5-( \sqrt 7 +1) + \sqrt 6 - \sqrt 5-(\sqrt 6-1)=0\\&\end{align}$$

Hola these!!

Hay expresiones radicales, como las cuatro de arriba, que a veces se pueden separar como suma o resta de radicales.

No se si hay algún método directo, yo lo hago asi:

Montando sistemas

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola These!

·

Consiste en hacer que no haya raíces cuadradas dentro de otras. Entonces se supone que podemos hacer estas transformaciones, existe teoría al respecto.

$$\begin{align}&\sqrt{a+\sqrt b}= \sqrt c + \sqrt d\\&\\&\text {elevamos al cuadrado}\\&\\&a + \sqrt b = c+d +2 \sqrt{cd}=c+d+\sqrt{4cd}\\&\\&\text{tenemos este sistema}\\&c+d = a\\&4cd =b\\&\\&\text{resolviéndolo}\\&c=a-d\\&\\&4(a-d)d=b\\&\\&4ad -4d^2 = b\\&\\&4d^2-4ad+b=0\\&\\&d=\frac{4a\pm \sqrt{16a^2-16b}}{8}=\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\\&\\&c=a-\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2} = \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\end{align}$$

$$\begin{align}&\sqrt{a-\sqrt b}= \sqrt c - \sqrt d\\&\\&\text {elevamos al cuadrado}\\&\\&a - \sqrt b = c+d -2 \sqrt{cd}=c+d-\sqrt{4cd}\\&\\&\text{tenemos este sistema}\\&c+d = a\\&4cd =b\end{align}$$

Es el mismo que el primero luego tiene las mismas respuestas pero tener cuidadado porque un radical con el signo + en medio nos dará

sqrt(c) + sqrt(d)

Y uno con el signo - nos dará

Sqrt(c) - sqrt(d)

Y con estas fórmulas vamos al ejercicio

$$\begin{align}&\sqrt{12+\sqrt{140}}-\sqrt{8+\sqrt{28}}+\sqrt{11-\sqrt{120}}-\sqrt{7-\sqrt{24}}=\\&\\&\\&c_1=\frac{12+\sqrt{144-140}}{2}=7\\&d_1=12-7=5\\&\\&\\&c_2=\frac{8+\sqrt{64-28}}{2}=7\\&d_2=8-7=1\\&\\&\\&c_3=\frac{11+\sqrt{121-120}}{2}=6\\&d_3=11-6=5\\&\\&\\&c_4=\frac{7+\sqrt{49-24}}{2}=6\\&c_5=7-6=1\\&\\&\text{Luego la expresión es}\\&\sqrt 7 + \sqrt 5 - (\sqrt 7 + \sqrt 1)+\sqrt 6 - \sqrt 5 - (\sqrt 6 - \sqrt 1)\\&\\&= \sqrt 7 + \sqrt 5 - \sqrt 7 -1+ \sqrt 6 - \sqrt 5 - \sqrt 6 + \sqrt 1=0\\&\\&\end{align}$$

Y la duda que puede quedarte es porqué he tomado el signo - en la resolución de la ecuación.  Buena pregunta.

Para el caso a+sqrt(b) da lo mismo, pero para  a-sqrt(b) debe ser

sqrt(c) >= sqrt(d)

Ya que si no daría resultado negativo y una raíz cuadrada es positiva, por eso a la d hay que darle el signo - de delante de la raíz para que sea el más pequeño de los dos ya que el otro signo va para la c.

Entonces con el fin de que sirva la misma fórmula para los dos casos convenía tomar esa respuesta para d.

Y eso es todo.