¿Cómo puedo determinar la población dentro de 5 años?

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La población a largo plazo será el límite cuando n tiende a infinito de la función.

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty }\left(\frac{40t}{t^2+10}-\frac{50}{t+1}+70\right)\end{align}$$

No sé si te habrán enseñado la norma de que cuando el grado del denominador es mayor que el del numerador el límite en el infinito es 0.  Con lo cual directamente se ve que el límite es 0-0+70=70

Esa sería la población a largo plazo, 70.

Si no te han enseñado esa regla al menos tendrás que conocer y usar que

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty} \frac{k}{x^n}=0\end{align}$$

Siendo k un número constante y n>0

Entonces consiste en cada cociente en dividir numerador y denominador entre x al máximo exponente que haya en ese cociente

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty }\left(\frac{40t}{t^2+10}-\frac{50}{t+1}+70\right)=\\&\\&\lim_{n \to \infty }\left(\frac{\frac{40t}{t^2}}{\frac{t^2+10}{t^2}}-\frac{\frac{50}t}{\frac{t+1}t}+70\right)=\\&\\&\lim_{n \to \infty }\left(\frac{\frac{40}{t}}{1+\frac{10}{t^2}}-\frac{\frac{50}t}{1+\frac{1}t}+70\right)=\\&\\&\frac{0}{1+0}-\frac{0}{1+0}+70=\\&\\&\\&\frac 01-\frac 01+70=70\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

¿Cómo puedo determinar la población dentro de 5 años?.     

P(t)=40t/(t^2+10)-50/(t+1)+70

Simplemente cambiamos t por 5

$$\begin{align}&P(5)=\frac{40·5}{5^2+10}-\frac{50}{5+1}+70=\\&\\&\frac{200}{35}-\frac{50}{6}+70=\\&\\&\frac{40}{7}-\frac{50}{6}+70 =\\&\\&\frac{240-350+2940}{42}=\frac{2830}{42}=\frac{1415}{21}\approx\\&\\&67.38095238\;habitantes\end{align}$$

O la unidad que sea ya que no la dices.

¡Gracias! mil por las respuestas tan detalladas.

Actividad 1. Tasa de cambio y criterio de la primera derivada

 Propósito: Analizar la aplicación de las derivadas, y de máximos y mínimos, en situaciones propias de unidades de negocios.

Instrucciones: Lee cuidadosamente cada uno de los enunciados y contesta lo que se pregunta. Deberás incluir todos y cada uno de los procedimientos para llegar a la respuesta.

Primera parte:

La función de demanda de un producto de su empresa es .

 Determina la tasa de cambio del precio con respecto a la cantidad demandada. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio cuando ? ¿Cuál es el precio del producto cuando se demandan 5 unidades?

 Segunda parte:

Usted como fabricante de cierto producto ha determinado que el costo  de producirlo está dado por la expresión,

 Donde  está en miles de pesos y  en unidades.

• Calcula el costo de producir 12 piezas.
• Determina la función de costo promedio y determine su valor cuando se fabrican 12 piezas.

• Determina la función de costo marginal.

• Calcula la cantidad de unidades que se deben fabricar para que el costo promedio sea mínimo. Determine el valor de dicho costo promedio mínimo.

• Indica si la función de costo promedio es creciente o decreciente en el rango de producción de 10 a 25 piezas.

 Tercera parte:

Utiliza el criterio de la primera derivada para determinar los valores máximos y mínimos de la función . Determina también los puntos de inflexión, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los de concavidad.