Aplicación lineal f : R^3 -> R^4 el ejercicio dice:
Estoy intentando resolver un problema y me he atascado con uno de los apartados del ejercicio.
Tenemos una aplicación lineal f : R^3 -> R^4 definida por:
f(x,y,z) = (2x+3z, x+2y, -y, 3x+y+2z)
Apartado d) Considerar los siguientes vectores de R^3:
u1 = (2,0,1), u2=(0,1,2), u3=(0,0,-1)
Demostrar que U = {u1, u2, u3} es una base de R^3 y calcular la imagen por f del vector u que pertenece a R^3 que en la base U tiene coordenadas (1,0,1).
Como seria el cálculo más o menos.
1 respuesta
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Una base de R3 debe tener tres vectores (todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores y R3 es de sobra sabido que tiene dimensión 3)
Y además los tres vectores deben ser independientes, para comprobarlo los ponemos en una matriz y comprobamos si el determinante es distinto de 0.
2 0 1
0 1 2
0 0 -1
Y no es necesario hacer ninguna operación, es una matriz con todo ceros debajo de la diagonal, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal
2·1·(-1) = -2
Luego son vectores independientes y son una base de R3
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Para calcular la imagen primero debemos calcular el vector origen, que se forma sumando los coeficientes por los vectores de la base
v=1·(2,0,1) + 0·(0,1,2) + 1·(0,0,-1) = (2,0,1) + (0,0,-1) = (2, 0, 0)
Y ahora calculamos la imagen
f(2,0,0) = (2·2+3·0, 2+2·0, -0, 3·2+0+2·0) = (4, 2, 6)
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Y eso es todo.
