Pertenece el vector (1,3,1,1) a la imagen de f ?
Estoy intentando resolver un problema y me he atascado con uno de los apartados del ejercicio. ¿Podrías ayudarme? El ejercicio es el siguiente:
Sea la siguiente aplicación lineal de IR^3 a IR^4:
f(x,y,z)=(x-y+2z, 3y+7z, -x-2y+z, x+2z)
Pertenece el vector (1,3,1,1) a la imagen de f.
1 Respuesta
(1,3,1,1) pertenecerá a la imagen si y solo si existe un vector (x, y, z) de R3 tal que
f(x,y,z) = (1,3,1,1)
Luego debe cumplirse
(x-y+2z, 3y+7z, -x-2y+z, x+2z) = (1,3,1,1)
Lo cual se traduce en un sistema de cuatro ecuaciones que debe tener respuesta (al menos una)
x-y+2z = 1
3y+7z = 3
-x-2y+z = 1
x+2z = 1
Y esto se resuelve de la forma que mejor sepas hacerlo, es un rollo andar con las matrices aquí por que cuesta alinearlas.
Si a la primera le restas la cuarta te queda
-y=0
luego y=0
entonces en la segunda
7z=3
z=3/7
Y entonces en la cuarta
x+ 6/7 = 1
x=1/7
Luego la única solución posible es (1/7, 0, 3/7)
Y digo posible porque es obligatorio probar que sirve en las cuatrto ecuaciones, fíjate que por ejemplo la tercera no la hemos empleado para nada.
Primera 1/7 + 2(3/7) = 1 está bien
Segunda 3·0 + 7(3/7) = 3 está bien
Tercera -1/7 - 2·0 + 3/7 = 2/7 ESTÁ MAL
Luego la única solución posible no sirve y por lo tanto (1,3,1,1) no pertenece a la imagen de f.
