Ayuda urgente por favor ecuaciones de solución general

Tony balles!

Veamos si es diferencial exacta:

$$\begin{align}&\ (xy+x^3+x)dx+(1+x^2)dy=0 \ ED\\ &M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\\ &\\ &M_y=\frac{\delta M}{\delta y}=x\\ &\\ &N_x= \frac{\delta N}{\delta x}=2x\\ &\\ &No \ diferencial \ exacta\\ &F \ :Factor \ Integrante:\\ &\\ &\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{x-2x}{1+x^2}=-\frac{x}{1+x^2}=f(x)\\ &\\ &F=e^{\int -\frac{x}{1+x^2}dx}=e^{-\frac{1}{2}ln|1+x^2|}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ &\\ &ED·F\\ &\\ &\frac{xy+x^3+x}{\sqrt {1+x^2}}dx+\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}dy=0\\ &\\ &es \ diferencial \ exacta \Rightarrow  \exists \Psi(x,y)\\ &tal \ que\\ &\\ &\Psi_x=\frac{xy+x^3+x}{\sqrt {1+x^2}}\\ &\\ &\Psi_y= \frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}= \sqrt{1+x^2}\\ &\\ &Integrando\\ &\\ &\Psi(x,y)= \int \Psi_ydy+h(x)=\\ &\\ &=\int \sqrt{1+x^2}dy+h(x)=\\ &\\ &=\sqrt{1+x^2}y+h(x)\\ &\\ &Derivando \ e \ igualando:\\ &\\ &\Psi_x=\frac{2xy}{\sqrt{1+x^2}}+h(x)'\\ &\\ &\frac{2xy}{2 \sqrt{1+x^2}}+h(x)'=\frac{xy+x^3+x}{\sqrt {1+x^2}}\\ &\\ &\Rightarrow \\ &\\ &h'(x)=\frac{x^3+x}{\sqrt {1+x^2}}dx\\ &\\ &h(x)= \int \frac{x^3+x}{\sqrt {1+x^2}}dx=\\ &\\ &=\frac{1}{3} \sqrt{(1+x^2)^3}+C\\ &\\ &Solución\\ &\Psi(x,y)= \sqrt{1+x^2}+ \frac{1}{3} \sqrt{(1+x^2)^3}+C\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

La última integral te la dejo para ti (Sustitución x=tanu(x))