Determinar el volumen de los nuevos ,modelos

$$\begin{align}&\left[y·(arcos\,y)^2- 2 \sqrt{1-y^2}\;arcos\,y- 2y\right]_0^1=\\ &\\ &1·0^2 - 2·0·0-2-0·\left(\frac\pi 2  \right)^2+2·1·\frac{\pi}{2}-0=\\ &\\ &0-0-2-0+\pi-0 = \pi-2\end{align}$$

¡Qué manía con llamar balones de fútbol a esas cosas!  Los balones de fútbol son los redondos, esos son de rugby.

Aparte de por esto el problema no está muy claro. Todo parece indicar que con theta quieran decir un ángulo y que sean coordenadas cilíndricas. Pero no es así, la figura que saldría no tendría nada que ver con el ovoide. Luego deben ser coordenadas cartesianas y la función sería

z = cos(2x)  o

z= cos(2y)

Pero esto solo da medio arco de ovoide. Luego tendremos que cosiderar también la función

z = -cos(2x) o

z=Cos(2y) para tener un ovoide plano completo que se supone al girar sobre el eje z nos dará ese balón de rugby.

Y en matemáticas todo esto se hace de otra forma

Se considera la función

y=cos(2x) entre 0 y pi/4

Se calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje y

Y se multiplica por 2 para que la parte de abajo del balón también se cuente

La fórmula del volumen de una curva que gira alrededor del eje y es

$$\begin{align}&V=\pi\int_{y_1}^{y_2} [f(y)]^2dy\end{align}$$

En este método se debe poner x = f(y) luego

x = arcos(y) / 2

y1 = cos (2pi/4) = cos(pi/2) = 0

y2 = cos(2·0) = cos(0) = 1

La integral es

$$\begin{align}&V=\pi\int_0^1 \left(\frac{arcos y}{2}  \right)^2dy=\\ &\\ &\frac{\pi}{4}\int_0^1(arcosy)^2dy \end{align}$$

Bastante lío lleva resolver la integral, nos dejaremos de la constante de delante y de los límites de momento.

$$\begin{align}&\int (arcos\,y)^2\;dy=\\ &\\ &u=(arcos\,y)^2\quad du= -\frac{2arcos\,y}{\sqrt{1-y^2}}dy\\ &dv=dy\quad\quad\quad\quad v =y\\ &\\ &\\ &=y·(arcos\,y)^2+\int \frac{2y·arcos\,y}{\sqrt{1-y^2}}dy=\\ &\\ &u=2arcos\,y\quad\quad du=-\frac{2\;dy}{\sqrt{1-y^2}}\\ &\\ &dv=\frac{y\;dy}{\sqrt{1-y^2}}\quad v=-\sqrt{1-y^2}\\ &\\ &=y·(arcos\,y)^2- 2 \sqrt{1-y^2}\;arcos\,y- \int 2\;dy=\\ &\\ &y·(arcos\,y)^2- 2 \sqrt{1-y^2}\;arcos\,y- 2y\\ &\end{align}$$

Si evaluamos esto entre 0 y 1 será

$$\begin{align}&\left[y·(arcos\,y)^2- 2 \sqrt{1-y^2}\;arcos\,y- 2y\right]_0^1=\\ & \\ & 1·0^2 - 2·0·0-2-0·\left(\frac\pi 2  \right)^2+2·1·\frac{\pi}{2}-0=\\ & \\ & 0-0-2-0+\pi-0 = \pi-2\end{align}$$

Y no olvidemos de dejamos abandonada una constante pi/4 y hay que multiplicar por 2 para que salgsa el volumen de la parte de abajo

$$\begin{align}&V=\frac{\pi}{2}(\pi-2)\approx 1.793209547\end{align}$$

Y eso es todo.  Ahora qu eveo lo que he hecho tengo la duda de si con los cascarones cilíndricos habría sido más fácil, pero los cascarones no los tengo tan claros como esto.