Centro de masa tronco de cono

Seguramente te lo manden hacer con integrales hasta triples. Pero por lo que deduzco la distribución de masa es homogénea, ¿no?
Entonces está más que claro que el centro de gravedad estará en el eje de giro. Se podría acumular toda la masa de los finos discos en que cortaríamos el tronco sobre el eje y calcular el centro de masa de una simple recta que se solucuiona con una integral simple.
No tengo aquí las fórmulas del cálculo de un centro de gravedad, pero creo que eran así:
Si f(x,y,z) es la densidad
centro en x = ($$$ x·f(x,y,z) dxdydz) / ($$$d(x,y,z)dxdydz)
centro en y = ($$$ y·f(x,y,z) dxdydz) / ($$$d(x,y,z)dxdydz)
centro en z = ($$$ z·f(x,y,z) dxdydz) / ($$$d(x,y,z)dxdydz)
Tal como te lo propongo yo sería una sola dimensión. Suponiendo el cono centrado y apoyado sobre el plano z=0 sobre la base ancha que es r2
El radio en función de z será r2 - z(r2-r1)/h, se calcula fácilmente y puede verificarse.
La masa en un punto del eje será la masa de todo el disco que le rodea, o sea, PI·[r2- z(r2-r1)/h]^2
zc = ($z·PI·[r2- z(r2-r1)/h]^2·dz entre 0 y h) / ($PI·[r2- z(r2-r1)/h]^2·dz entre 0 y h)
Para ayudar podemos llamar p = (r2- r1) / h La llamo p porque en realidad es la pendiente del tronco de cono
zc = ($z(r2 - pz)^2·dz entre 0 y h) / ($(r2 - pz)^2·dz entre 0 y h)
zc = ((1/2)(r2^2)(z^2) + (1/4)(p^2)(z^4) - (2/3)p(r2)(z^3)) en 0,h) /...
...((r2^2)z + (1/3)(p^2)z^3 - p(r2)(z^2) en 0, h)
De paso que sustituimos z por h hay que ver que se puede simplificar un grado en todo
zc = [(1/2)(r2^2)h + (1/4)(p^2)(h^3) - (2/3)p(r2)(h^2)] / [(r2^2 + (1/3)(p^2)(h^2) - p(r2)h]
Y ahora tocaría la caja de los truenos de sustituir p por (r2-r1)/h, pero ya me canso de escribir con este editor, lo haré a mano y escribo el resultado si sale decente.
Bueno, sería medio milagroso, aunque creo firmemente que está bien.
zc = (h/4) (3(r1^2) + r2^2 + 2·r1·r2) / (r2^2 + r1^2 + r1·r2)
Y las coordenadas xc e yc eran cero.
Y eso es todo. Si quieres hacerlo con integrales triples toma como límites
z en [0,h]
x en [-r2 + z(r2-r1)/h, r2 - z(r2-r1)/h]
Y en [- sqrt([r2 - z(r2-r1)/h]^2 - x^2), sqrt([r2 - z(r2-r1)/h]^2 - x^2)]
Y calcula:
centro en x = ($$$ x dxdydz) / ($$$dxdydz)
centro en y = ($$$ y dxdydz) / ($$$dxdydz)
centro en z = ($$$ z dxdydz) / ($$$dxdydz)
Aunque creo que se podría simplificar pasando a coordenadas cilíndricas, pero en ese tema si que soy un negado.
Espero que te sirva y lo hallas entendido. NO olvides puntuar.