Expresar como serie f(n)=1/n 1

Obed Tobon!

Es una cionfusión usar variables que no son las habituales, las funciones piden la variable x, y la n es ideal para los sumatorios, luego vamos a tener un lío doble.

Hagamos el desarrollo de McLaurin

f(x) = 1/(x+1) = (x-1)^(-1)

f '(x) = -(x+1)^(-2)

f ''(x) = 2(x+1)^(-3)

.....

d^n[f(x)] / dx^n = (-1)^n · n! · (x+1)^(-n-1)

d^n[f(0)] / dx^n = (-1)^n · n!

Y el desarrollo será

$$\begin{align}&\frac{1}{x+1}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n·n!·\frac{x^n}{n!}=(-1)^nx^n\\ & \\ & \text{En forma más entendible}\\ & \frac{1}{x+1}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+ ···\end{align}$$

Es convergente cuando |x| < 1
Ya que entonces el termino infinito de la sucesión tiende a cero, y los términos tienen signo alternado y son monotonamente decrecientes en módulo, cumpliendose así las condiciones del criterio de Leibniz para que la serie sea convergente.

Mientras que si n=1 la serie suma alternativamente 1 y -1

y si n=-1 las serie suma infinito

Y si x>1 la serie va alternanando entre +infinito y -infinito

Y si x<-1 suma infinito

Y eso es todo.