Colaboración con esta inecuación

(x^2 - 1) / - (x^2 + 2x - 1) <=0

Muchas gracias por su gran ayuda

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Cuidado, si aquí actuamos como en una ecuación y pasamos el denominador al otro lado quedará un 0 y perderemos información.

Espera, yo te propuse una expresión y dijiste que estaba bien pero aquí me has escrito otro distinta, tendre que preguntarte de nuevo por esa contradicción

¿Cuál es la inecuación?

$$\begin{align}&a)\quad \frac{x^2 - 1} {- (x^2 + 2x - 1)}<=0\\ &\\ &b)\quad \frac{x^2 - 1} {- x^2 + 2x - 1}<=0\end{align}$$

Cordial saludo Valero, es la opción b. Discúlpeme por favor por mi contradicción

Pues esto se soluciona por la regla de los signos. Dados dos números que se multiplican o dividen el resultado es negativo cuando uno tiene un signo y el otro el contrario. Aparte también sirve el numerador 0 para esta inecuación.
Veamos el signo de numerador y denominador

x^2-1 =0

x^2 = 1

x = -1 y 1

Esto divide la recta real en 3 trozos

En (-infinito, -1) el valor de x^2-1 es positivo

Puedes comprobarlo tomando un valor (-2)por ejemplo

(-2)^2 -1 = 4 -1 = 3 >0

En (-1, 1) es negativo, para x=0 tenemos 0^2-1=-1 <0

Y en (1, infinito) es positivo

Hacemos lo mismo con el denominador

-x^2 + 2x - 1 = -(x^2 - 2x + 1) = -(x-1)^2

Era un producto notable

Luego el denominador es siempre negativo, por ser un cuadrado con signo - delante.

Entonces el cociente será negativo cuando el numerador sea positivo o cero.

x € (-oo, -1] U [1,oo)

Hemos añadido el 1 y el -1 donde el numerador vale 0 ya que sirve que ele resultado sea 0.

PERO ahora viene cuando la peinan. Para que la función racional esté definida el denominador debe ser distinto de cero, y cuando x=1 el denominador se hace 0

-(1-1)^2 = 0

Luego el 1 no entra por indefinición de la función y la respuesta correcta es:

x € (-oo, -1]  U (1,oo)

Y eso es todo.

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