¿Cómo encontrar números críticos (máximos y mínimos)?

De la siguiente función:

$$f(x)= \frac{x}{x^2+1}$$

De acuerdo a la primera derivada, encuentre los números críticos (máximos y mínimos), intervalo donde crece y decrece.

1

1 respuesta

Respuesta
1

Si una función es derivable los máximos y mínimos relativos están en los puntos donde derivada es cero, la función crece donde la derivada es positiva y decrece donde es negativa

Vamos a calcular la derivada

$$f´(x)=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$$

El denominador es siempre positivo (en concreto mayor que 1) luego el signo y los puntos donde vale cero la derivada dependen exclusivamente del numerador

1 - x^2 = 0

1 = x^2

x = +- 1

Esto divide R en tres intervalos, en cada uno de ellos es constante el signo de la derivada

(-oo, -1) (-1, 1) (1,+oo)

En (-oo, -1) tomamos x=-2 y tenemos f '(-2) = 1 - (-2)^2 = -3 negativo

En (-1, 1) tomamos x=0 y tendremos f '(0) = 1 positivo

En (1, +oo) tomamos x=2 y tendremos f '(2) = 1 -2^2 = -3 negativo

Luego la función f(x) es

Creciente en (-1,1)

Decreciente en (-oo, -1) U (1, +oo)

En x=-1 tiene un mínimo porque la función decrece hasta ese punto y luego crece

En x= 1 tiene un máximo porque la función crece hasta ese punto y después decrece

Y eso es todo.

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas