Ydx + (2xy - e^(-2y))dy=0 me ayudan a resolver estar ecuación inexacta
no he podido resolver esta ecuaciones, las derivadas de M(x,y) y N(x,y) no me dan iguales en ningún momento
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Sergio Gomez!
Hay que usar la teoría del factor integrante, uno de cuyos apartados dice que si el cociente siguiente es una función que solo de depende de y
$$\begin{align}&\frac{N_x-M_y}{M}=f(y)\end{align}$$entonces si multiplicamos la ecuación por
$$\begin{align}&\mu(y) = e^{\int f(y)dy}\end{align}$$tendremos una ecuación diferencial exacta
$$\begin{align}&M_y=1\\ &N_x= 2y\\ &\\ &f(y)=\frac{2y-1}{y}= 2-\frac 1y\\ &\\ &\text {es una función que solo depende de y}\\ &\\ &\int\left(2-\frac 1y\right)dy = 2y -lny\\ &\\ &\mu(y) = e^{2y-lny}=\frac{ e^{2y}}{e^{lny}}= \frac{e^{2y}}{y}\\ &\\ &\text{Multiplicamos la ecuación por }\mu(y)\\ &\\ &e^{2y}dx+ \frac{e^{2y}}{y}(2xy-e^{-2y})dy=0\\ &\\ &e^{2y}dx+ \left(2xe^{2y}-\frac 1y\right)dy=0\end{align}$$Y puedes comprobar fácilmente que esa ecuación es exacta, y si sabes resolverla obtendrás la respuesta. Si no sabes dímelo.
Si sabia que tenia que multiplicar por un facto integrante g(x) la cuestión era que después de eso seguían con derivadas inexactas, pero el problema radicaba en que estaba hallando mal g(x). Igualmente gracias por tomarte el tiempo de responder.
