Cos(alfa+beta)cos(alfa-beta)=cos^2alfa+cos^2beta-1

Haremos uso de las fórmulas conocidas para el seno y coseno de la suma o resta de ángulos.  Simplificaré a=alfa, b=beta

cos(a+b) = cosa·cosb - sena·senb

cos(a-b) = cosa·cosb + sena·senb

Fijate que cos(a+b)·cos(a-b) va a ser uno de esos productos notables que habrás visto miles de veces

cos(a+b)·cos(a-b) =

(cosa·cosb - sena·senb) · (cosa·cosb + sena·senb) =

esto es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo

$$\begin{align}&= \cos^2a·\cos^2b-sen^2a·sen^2b=\\ &\\ &\text{sustituimos } \cos^2b=1-sen^2b\\ &\\ &=\cos^2a(1-sen^2b) -sen^2a·sen^2b=\\ &\\ &\cos^2a - \cos^2a·sen^2b- sen^2a·sen^2b=\\ &\\ &\cos^2a -sen^2b(\cos^2a+sen^2a)=\\ &\\ &\cos^2a- sen^2b=\\ &\\ &\cos^2a - (1-\cos^2b) =\\ &\\ &\cos^2 a + \cos^2b -1\\ &\end{align}$$

Luego la identidad es cierta.