Comprobar si la ecuación representa una circunferencia
comprobar si la siguiente ecuación representa una circunferencia y en tal caso hallar el centro y el radio
3x^2 + 3y^2 - 6x + y -1 =0
gracias por adelantado
2 Respuestas
Andreas La Fuente!
Hay que usar la técnica para completar cuadrados y al final veremos si la ecuación que queda corresponde con la canónica de una circunferencia, la cual es:
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
ó
(x-h)^2 + (y-k)^2 - r^2 = 0
(da lo mismo y te puedes ahorrar un paso) donde (h, k) es el centro y r el radio
3x^2 + 3y^2 - 6x + y - 1 = 0
Primero dividimos todo entre 3 para que los coeficientes de los términos de los cuadrados sean 1
x^2 + y^2 - 2x + y/3 - 1/3 = 0
En x el binomio (x-1)^2 nos da x^2 - 2x + 1
Luego podemos ponerlo en la ecuación para sustituir a x^2-2x, pero como añadimos un 1 de más respecto a lo que había lo restamos y queda esta ecuación:
(x-1)^2 - 1 +y^2 + y/3 - 1/3 = 0
Y para sustituir y^2 + y/3 usaremos el binomio
(y + 1/6)^2 = y^2 + y/3 + 1/36
como añadimos 1/36 de más lo restamos
(x-1)^2 - 1 + (y+1/6)^2 - 1/36 - 1/3 = 0
(x-1)^2 + (y+1/6)^2 - (36-1-12)/36 = 0
(x-1)^2 + (y+1/6)^2 - 23/36 = 0
$$\begin{align}&(x-1)^2 +\left (y+\frac 16\right)^2 - \frac{23}{36} = 0\\ & \\ & (x-1)^2 +\left (y+\frac 16\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{23}{36}}\right)^2 = 0\\ & \\ & (x-1)^2 +\left (y+\frac 16\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{23}}{6}\right)^2 = 0\\ &\\ &\text{Sí, es una circunferencia.}\\ &\\ &\text{El centro es }\left(1,-\frac 16 \right)\\ &\\ &\text{El radio es } \frac{\sqrt{23}}{6}\end{align}$$
¡Gracias!
Perdona, tuve un fallo con los signos tras esta igualdad:
(x-1)^2 - 1 + (y+1/6)^2 - 1/36 - 1/3 = 0
lo que realmente continua es
(x-1)^2 + (y+1/6)^2 - (36+1+12)/36 = 0
(x-1)^2 + (y+1/6)^2 - 49/36 = 0
(x-1)^2 + (y-1/6) - (7/6)^2 = 0
Luego el centro es el mismo (1, -1/6) pero el radio es (7/6)
Me di cuenta porque mi respuesta no coincidía con la otra que te han dado. Yo no me conozco las fórmulas de memoria, pero por el método deductivo que he seguido, y que es el que te enseñarán en la universidad, se tenía que llegar al mismo resultado.
$$\begin{align}& r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}\\ &\\ & r = \frac{\sqrt{-2^2 + \frac{1}{3}^2 - 4(-\frac{1}{3})}}{2}\\ &\\ & r = \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{9} +\frac{4}{3}}}{2}\\ &\\ &resolvemos\\ &r = 1.16\end{align}$$Encontrar el centro y el radio con fórmula general
$$\begin{align}&Fórmula general\\ & x^2 + y^2 + Dx+ Ey +F = 0\\ & \\ & Dividimos entre 3\\ & \\ & x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{3}y -\frac{1}{3} =0\\ & \\ & Encontramos que:\\ & D = -2\\ & E = \frac{1}{3}\\ & F = - \frac{1}{3}\end{align}$$Fórmulas para encontrar el centro y el radio:
$$\begin{align}&h = - \frac{D}{2}\\ &\\ &k = -\frac{E}{2}\\ &\\ &r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}\end{align}$$Sustituimos los valores de D, E y F
$$\begin{align}&h = - \frac{-2}{2}\\ &h = \frac{2}{2}\\ &h = 1\end{align}$$Saludos
$$\begin{align}&k = - \frac{\frac{1}{3}}{2}\\ &\\ &k = -\frac{1}{6}\\ &\end{align}$$$$\begin{align}&Resultado del Centro\\ &C(1, -\frac{1}{6})\end{align}$$Calculamos el radio
$$\begin{align}& r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}\end{align}$$
Disculpa, la primera parte de la respuesta se movió, el cálculo del radio va hasta el final de la respuesta.