Derivadas complejas...inducción matemática
Agradeciendo ampliamente su apoyo en este problema...
Demuestre por inducción matemática que para f(z)=1/z^n , con z≠0, se tiene que:
f´(z)=-n/z^(n+1)
1 Respuesta
Zankass Plancarte!
El problema de estas demostraciones es saber que se puede usar y que no en la demostracióin, eso es algo que solamente en el contexto del libro, apuntes o clases que estés dando puede saberse.
Por ejemplo: ¿Tengo que calcular (1/z)' por definición o puedo dar por supuesto que es -1/z^2
¿Puedo usar la regla de la derivada del producto? Si no, no veo forma de conectar de derivada n con la n+1
Espero alguna aclaración. Y si no, lo haremos de todas formas.
Voy a responder como yo creo que será.
Para demostrar la inducción se necesita
1) Demostrar que se cumple para n=1
2) Demostrar que si se cumple para n se cumple para n+1
1) Todos sabemos que la derivada de 1/z es -1/z^2 pero lo haremos por definición
$$\begin{align}&f'(zo)=\lim_{z\to z_o}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\\ &\\ &\left(\frac 1z\right)'(z_0)=\lim_{z\to z_0} \frac{\frac 1z-\frac 1{z_0}}{z-z_0}=\\ &\\ &\lim_{z\to z_0}\frac{\frac{z_0-z}{z·z_0}}{z-z_0}=\lim_{z\to z_0}\frac{z_0-z}{z·z_0(z-z_0)}=\\ &\\ &\lim_{z\to z_0}-\frac{1}{z·z_0}= -\frac{1}{z_0^2}\\ &\\ &\text{Luego la función derivada es}\\ &\\ &\left(\frac{1}{z^1}\right)'=-\frac 1{z^2}=-\frac{1}{z^{1+1}}\end{align}$$Lo cual se corresponde con la fórmula que nos han dado.
2)
Suponemos que se cumple para n
$$\begin{align}&\left(\frac{1}{z^n} \right)' = -\frac{n}{z^{n+1}}\\ &\\ &\left(\frac{1}{z^{n+1}} \right)' =\left(\frac{1}{z^{n}}·\frac 1z \right)' =\\ &\\ &\text{aplicando la regla de la derivada del producto}\\ &\\ &\left(\frac 1{z^n} \right)'·\frac 1z+\frac{1}{z^n}·\left(\frac 1z \right)'=\\ &\\ &-\frac{n}{z^{n+1}}·\frac 1z+ \frac 1{z^n}·\left(-\frac{1}{z^2} \right)=\\ &\\ &-\frac{n}{z^{n+2}}-\frac{1}{z^{n+2}}=- \frac{n+1}{z^{n+2}}\end{align}$$Y ese es el valor que tomaría la fórmula para n+1, luego se cumple.
Y con esto queda demostrada la inducción.
