Nuevamente ¿Me ayudas con la transformada de Laplace?

Edith Zamora!

Seguiré la misma notación que en el ejercicio anterior.

Esta vez tenemos la novedad de una derivada segunda, la teoría dice que:

L(y'') = s^2·L(y) - s·y(0) - y'(0)

llamando z=L(y) y haciendo la transformada en los dos lados tendremos

$$\begin{align}&s^2z - s\,y(0) - y'(0) + z = \frac s{s^2+9}\\ &\\ &z(s^2+1) - 2s +1 =  \frac s{s^2+9}\\ &\\ &z(s^2+1) = \frac s{s^2+9} +2s-1\\ &\\ &z= \frac{s}{(s^2+9)(s^2+1)} + \frac{2s-1}{s^2+1}\\ &\\ &\text{descomponemos en fracciones simples}\\ &\\ &\frac{s}{(s^2+9)(s^2+1)}=\frac{as+b}{s^2+9}+\frac{cs+d}{s^2+1}\\ &\\ &s=(as+b)(s^2+1)+(cs+d)(s^2+9)\\ &a=-c\\ &b=-d\\ &a+9c=1\implies 8c=1\implies c=\frac 18\implies a=-\frac 18\\ &b=-9d\implies -9d=-d\implies d=0\implies b=0\\ &\\ &z=-\frac 18 ·\frac{s}{s^2+9}+ \frac 18·\frac{s}{s^2+1}+2· \frac{s}{s^2+1}-\frac{1}{s^2+1}\\ &\\ &\text{y calculamos la inversa}\\ &\\ &y=-\frac{\cos 3t}{8}+\frac{17cost}{8}-sent\end{align}$$

Y eso es todo.