Problema de análisis complejas 1

Amo Mo!

Sabemos que

$$\begin{align}&1+z+z^2+...= \lim_{n\to\infty}\frac {z^{n}-1}{z-1}\\ & luego\\ & z+z^2+... =z \lim_{n\to\infty}\frac {z^{n}-1}{z-1}\\ & y\\ & z^2+z^3+...= z^2 \lim_{n\to\infty}\frac {z^{n}-1}{z-1}\\ & \\ & \text{Y haciendo la suma de los dos lados}\\ & \\ & \sum_{i=1}^{\infty}iz^{i-1}=\left( \sum_{m=0}^{\infty}z^m\right) \left(\lim_{n\to\infty}\frac {z^{n}-1}{z-1}\right)=\\ & \\ &  \left(\lim_{m\to\infty}\frac {z^m-1}{z-1}\right) \left(\lim_{n\to\infty}\frac {z^{n}-1}{z-1}\right)=\\ & \\ & \lim_{n\to\infty} \left(\frac{z^n-1}{z-1}\right)^2\\ & \\ & \end{align}$$

Ahora mismo desconozco las particularidades de las series de números complejos, pero aplicando la teoría de las de números reales la serie converge cuando el módulo de z < 1 y diverge cuando es mayor que 1

Para z=1 diverge porque la suma es infinita y para otros valores con módulo 1 diverge porque no hay un límite único.

Siento no hacerlo mejor, pero sin la teoría específica no puedo.